11. Повторение. Решение задач ЕГЭ предыдущих лет по теме "Механика. Часть I"

Графические задачи по кинематике

Мы изучили курс физики в объеме, необходимом для успешной сдачи ЕГЭ. Теперь мы будем упражняться в решении задач, применяя на практике полученные знания.

Сегодня займемся задачами по механике, а именно, кинематике и основам динамики. Среди задач ЕГЭ этим темам соответствуют задания 1, 2, 3, 6, 7, 29. Также этой теме могут соответствовать, а могут не соответствовать задания 23-25, 28.

Чтобы вспомнить тему «Кинематика», вы можете посмотреть уроки по соответствующим темам, я напомню основные инструменты решения задач. Для прямолинейного движения с начальной скоростью  и постоянным ускорением  перемещение за время  равно: .

По определению ускорение равно изменению скорости за единицу времени:  .

При этом для равномерного движения , и формула для перемещения приобретает вид: .

Центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса  со скоростью  равно: 

.

Задача

На рисунке представлен график зависимости координаты  велосипедиста от времени . На каком интервале времени проекция скорости мотоциклиста на ось  ?

Анализ условия

- задача описывает процесс движения, задана зависимость координат тела от времени. Задача по кинематике.

- на каждом из участков координата линейно изменяется со временем, значит, движение на каждом участке равномерное.

- скорость, по определению, равна  .

- перемещение, по определению, это изменение положения, т.е. изменение координат. В проекции на ось Ох запишем:. .

- по графику для каждого интервала мы можем найти его длительность и начальную и конечную координату.

Решение

Вычислим скорость мотоциклиста на каждом участке.

Из всех участков важен первый участок, т.к. от 0 до 5 с соответствует проекции скорости . В ответ запишем 1.

Задача

Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью , через некоторое время упал на поверхность земли. Какой график соответствует зависимости проекции скорости на ось  от времени движения? Ось  направлена вертикально вверх.

Мяч, брошенный вертикально вверх, движется прямолинейно с ускорением свободного падения .

- график  при равноускоренном движении – прямая.

- в заданной системе координат начальная скорость положительна, что соответствует графикам 1 и 3, ускорение отрицательно, значит, график наклонен вниз. После достижения верхней точки траектории скорость меняет направление, т.е. проекция становится отрицательной, и увеличивается по модулю, что соответствует графику 3.

Задача

На рисунке приведены графики зависимости координат от времени для двух тел: , движущихся по прямой, вдоль которой направлена ось .

Выберите верное (-ые) утверждение(-я) о характере движения тел.

А. От момента  до остановки тело проделало путь, равный .

Б. В момент времени, равный , тела и встретились.

Анализ условия

- график зависимости координаты от времени для тела – прямая, тело движется равномерно.

- график зависимости координаты от времени для тела– парабола, тело движется равноускоренно.

- пройденный телом путь находится как разность начальной и конечной координат тела.

- скорости тела на графике

 соответствует наклон касательной к графику. Если касательная горизонтальна, значит, скорость равна нулю и тело остановилось.

- если координаты тел в некоторый момент времени равны, т.е. графики пересеклись, то тела в этот момент встретились.

Решение

Рассмотрим утверждение А: тело В остановится в момент времени , в этой точке касательная к графику будет параллельна оси , координата в этот момент времени не меняется. В этот момент координата тела равна . Тело начало движение из точки с координатой , значит, прошло путь . Утверждение верно.

Рассмотрим утверждение Б: в момент встречи тела имели бы одинаковую координату, значит их графики пересеклись бы. Заданные графики не пересекаются, значит, тела не встречаются. Утверждение неверно.

Верное утверждение только А, вариант 1.

Равноускоренное движение

Продолжим решать задачи по кинематике.

Задача

Камень, брошенный с крыши дома почти вертикально вверх со скоростью  , упал на землю через  после броска. С какой высоты брошен камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

Анализ условия

- камень брошен с крыши, описывается процесс движения (скорость, время движения), значит, задача на свободное падение.

- свободное падение – это равноускоренное движение с ускорением свободного падения   (значения констант есть в таблице, которая выдается вместе с заданиями).

- выберем систему координат. Камень брошен вертикально вверх, достаточно одной оси. Направим ее вдоль вектора ускорения, начало координат поместим в точку, откуда брошен камень.

- зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении следующая:.

Решение

Запишем зависимость  для нашего случая. Начальная координата равна нулю, проекция начальной скорости отрицательна, ускорение свободного падения положительно (обратите внимание на направления). Через время  координата тела будет равна . Запишем:  . Осталось подставить численные значения и получить ответ:  .

Высота , вариант 4.

Задача

Мимо остановки по прямой улице с постоянной скоростью проезжает грузовик. Через от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением , и догоняет грузовик на расстоянии от остановки. Чему равна скорость грузовика?

1)

2)

3)

4)

Анализ условия

- в задаче описаны грузовик, движущийся равномерно прямолинейно, и мотоцикл, движущийся равноускоренно.

- выберем систему координат. Движение прямолинейное, достаточно одной оси координат. Направим ее по направлению движения грузовика и мотоцикла, начало координат поместим на остановке.

- координата тела при равномерном прямолинейном движении в момент времени t равна: .

- координата тела при равноускоренном прямолинейном движении в момент времени t равна:
.

- встреча двух тел означает, что в данный момент времени их координаты равны.

Решение

Применим записанные зависимости для нашей конкретной задачи. Грузовик движется от остановки, , и за через время  находится в точке с координатой : .

Мотоцикл движется тоже из точки , без начальной скорости. Он стартует на  позже, значит, движется на протяжении времени, меньшего на , чем грузовик, и за время  окажется в точке с координатой , где встретится с грузовиком: .

Получили систему уравнений, которую остается только решить и получить скорость грузовика , вариант 2.

Математическая часть решения задачи

Выразим из второго уравнения время .

Подставим в первое уравнение и выразим скорость.

Вычислим: 

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Для решения задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, нужно понимать главное: движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на проекции, в которых оно будет представлять собой хорошо нам известные равномерное и равноускоренное движения.

Задача

Прибор наблюдения обнаружил летящий снаряд и зафиксировал его горизонтальную координату  и высоту  над Землёй (см. рис.). Через снаряд упал на Землю и взорвался на расстоянии  от места его обнаружения. Чему равнялась начальная скорость  снаряда при вылете из пушки, если считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали.

Анализ условия

- задача на брошенное под углом к горизонту тело.

- выберем систему координат. Удобно направить оси так, чтобы снаряд двигался в положительном направлении осей, как показано на рисунке.

- движение тела – это сумма двух движений: равномерного прямолинейного по  и свободного полета по . Запишем это:

- запишем также скорость тела

-по закону сохранения энергии при отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость снаряда при выстреле из пушки равна скорости падения снаряда на землю. Сведем решение задачи к нахождению скорости падения.

Решение

Запишем выражения, которые мы обсудили выше, для нашей конкретной задачи. В горизонтальном направлении снаряд за время  пролетел расстояние : .

В вертикальном направлении снаряд двигался с начальной скоростью  и за то же время прошел путь  и приобрел скорость .

Зная проекции скорости на оси координат, запишем модуль скорости снаряда в точке падения: .

Получили систему уравнений, которую остается решить и найти .

Математическая часть решения задачи

Выразим и вычислим из первого уравнения горизонтальную проекцию скорости

 в момент падения снаряда: .

Выразим из второго уравнения скорость : .

Подставим в третье уравнение и вычислим вертикальную проекцию скорости  в момент падения снаряда: 

.

Подставим полученные значения проекция и вычислим искомую скорость:

Задача

Ученик исследовал движение шарика, сброшенного горизонтально со стола. Для этого он измерил координаты летящего шарика в разные моменты времени его движения и заполнил таблицу.

Погрешность измерения координат равна , а промежутков времени – . На каком из графиков верно представлена наиболее вероятная траектория движения шарика?

Анализ условия

- траектория показывает положение движущегося тела в пространстве в разные моменты времени. Это график в координатах .

- вдоль оси х движение равномерное: .

- вдоль оси у движение ускоренное, без начальной скорости (при горизонтальном броске проекция начальной скорости на вертикальную ось равна нулю): .

Осталось получить выражение .

Выразим из первого уравнения время: .

Подставим во второе уравнение: .

Зависимость квадратичная, график такой зависимости – парабола. Мы убедились в том, что и так знаем: тело, брошенное горизонтально или под углом к горизонту, движется по параболе.

Из предложенных графиков только графики 1 и 2 построены в координатах х, у. Из них график наиболее вероятен график 1, показывающий параболу.

Движение по окружности. Законы Ньютона

Задача

Верхнюю точку моста радиусом автомобиль проходит со скоростью . Центростремительное ускорение автомобиля равно:

1) 

2) 

3)

4)

Анализ условия

- описано движение автомобиля по мосту, который имеет форму дуги радиусом , т.е. движение по окружности.

- при движении по окружности центростремительное ускорение равно: 

.

- все необходимые значения заданы, осталось только вычислить.

Решение

В ответ запишем .

Перейдем к решению задач из раздела динамика.

В этом разделе главными инструментами решения задач являются три закона Ньютона, а также формулы для расчета изученных сил: гравитационного притяжения, реакции опоры, трения, упругости.

Эти формулы вы можете вспомнить, вернувшись к урокам по динамике. Приступим к решению задач.

Задача

В инерциальной системе отсчета сила  сообщает телу массой  ускорение . Ускорение тела массой  под действием силы 

в этой системе отсчета равно

1) 

2) 

3) 

4)

Анализ условия

- в задаче описана сила, которая вызывает ускорение тела, на которое она действует: этот процесс подчиняется второму закону Ньютона.

- по второму закону Ньютона, ускорение, вызванное силой, равно: .

Вычислим ускорение для второго случая и сравним его с первым: .

В ответ запишем вариант 2.

Задача

Мимо Земли летит астероид в направлении, показанном на рисунке пунктирной стрелкой. Вектор  показывает силу притяжения астероида Землей. Известно, что масса Земли в  раз больше массы астероида. Вдоль какой стрелки (1 или 2) направлена и чему равна по модулю сила, действующая на Землю со стороны астероида?

1) вдоль стрелки 1, равна

2) вдоль стрелки 1, равна

3) вдоль стрелки 2, равна

4) вдоль стрелки 2, равна

Анализ условия

- в задаче описано взаимодействие тел, известна сила, с которой одно тело действует на второе, спрашивается сила, с которой второе тело действует на первое, значит, будем применять третий закон Ньютона.

Решение

По третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют друг с другом с силами, которые равны по модулю, лежат вдоль одной прямой и действуют в противоположных направлениях.

Указанным требованиям отвечает вариант 1.

Динамика

Задача

Тело массой  висит на пружине жёсткости . Если на пружину вдвое большей жёсткости подвесить тело с вдвое большей массой, то деформация второй пружины будет:

1) в 4 раза больше, чем у первой пружины

2) в 4 раза меньше, чем у первой пружины

3) такой же, как у первой пружины

4) в 2 раза меньше, чем у первой пружины

Анализ условия

- в задаче описано тело, которое неподвижно висит на пружине. На него действует сила притяжения Земли и сила упругости пружины.

- рассматривается тело, на которое действуют силы, значит, будем применять законы Ньютона.

- по модулю сила тяжести равна , сила упругости равна  (по закону Гука).

- нам нужно будет получить выражение для деформации пружины для двух случаев и сравнить их.

Решение

Выберем систему координат. Силы действуют вдоль одной прямой, достаточно одной оси, направим ее вертикально вниз.

Применим первый закон Ньютона: .

В проекции на ось координат запишем: .

Подставив выражения для сил тяжести и упругости, получим: .

Для второго случая тело с вдвое большей массой и пружина вдвое большей жесткости, запишем: .

Осталось выразить деформации  и  и сравнить их.

Деформация будет такой же, как в первом случае, ответ 3.

Задача

Две звезды одинаковой массы  притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю . Чему равен модуль сил притяжения между другими двумя звездами, если расстояние между их центрами такое же, как и в первом случае, а массы звезд равны  и ?

Анализ условия

- в задаче описано взаимодействие двух массивных тел.

- по закону всемирного тяготения, два массивных тела притягиваются с силой 

.

- в задаче рассмотрено два случая, отличающиеся массами звезд. Посчитаем силы притяжения для двух случаев и сравним.

Решение

В первом случае массы звезд равны :  .

Во втором случае массы звезд равны  и , а расстояние между их центрами не изменилось. Запишем: 

.

Вариант ответа 1.

Задача

Мальчик медленно поднимает гирю, действуя на нее с силой . Гиря действует на мальчика с силой:

1) меньше , направленной вниз

2) больше , направленной вниз

3), направленной вниз

4), направленной вверх

Анализ условия

- в задаче описано взаимодействие тел, известна сила, с которой одно тело действует на второе, спрашивается сила, с которой второе тело действует на первое, значит, будем применять третий закон Ньютона.

Решение

По третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют друг с другом с силами, которые равны по модулю (гиря действует с силой 100 Н), лежат вдоль одной прямой и действуют в противоположных направлениях (сила направлена вниз). Правильный вариант 3.

Задача

С вершины наклонной плоскости из состояния покоя скользит с ускорением брусок массой

 (см. рис.). Как изменится время движения, ускорение бруска и сила трения, действующая на брусок, если с той же наклонной плоскости будет скользить брусок из того же материала массой ?

Для каждой величины определите соответствующий характер ее изменения:

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Анализ условия

- брусок движется по наклонной плоскости под действием силы тяжести, силы трения и силы реакции опоры, значит, будем применять второй закон Ньютона.

- выберем систему координат, удобно направить оси координат, как показано на рисунке, чтобы ускорение было направлено вдоль оси х.

- двигаясь равноускоренно из состояния покоя, брусок за время  пройдет путь .

Решение

Применим названные закономерности к нашей задаче.

По второму закону Ньютона запишем:.

В проекциях на оси координат:

Сила трения равна:

.

Путь, равный длине склона, брусок пройдет за время t: .

Выразим из записанных уравнений величины, которые требуется найти: время движения, ускорение и силу трения.

Сила трения равна , а из первого уравнения . Подставим во второе уравнение и выразим ускорение.

Подставим в третье уравнение и выразим время спуска.

Теперь рассмотрим, как изменятся найденные величины, если масса бруска увеличится втрое: 

.

Время движения не зависит от массы бруска. Плоскость осталась та же, значит, ее длина  и угол наклона  не изменились. Материал бруска тот же, значит, коэффициент трения

 не изменился. Ускорение свободного падения постоянно. Значит, для времени движения записываем в таблицу вариант 3, не изменится. . Ускорение не зависит от массы., как мы уже сказали, не изменяется. Для ускорения записываем в таблицу вариант 3, не изменится. . Сила трения прямо пропорциональна массе, значит, при увеличении массы силы трения тоже увеличится, записывает вариант 1.

В результате в ответ запишем цифры из таблицы: 331.

Заключение

На этом уроке мы решали задачи ЕГЭ предыдущих лет по темам:

равномерное и равноускоренное прямолинейное движение; движение тела, брошенного под углом к горизонту; движение по окружности; законы Ньютона; силы гравитации, упругости, трения.

На следующем уроке мы продолжим решение задач из раздела «Механика» и повторим:

• решение задач по динамике;

• статику;

• законы сохранения.