10. Повторение. Решение задач ЕГЭ предыдущих лет по теме "Механика. Часть II"

Динамика

Мы продолжаем упражняться в выполнении заданий, которые были на ЕГЭ прошлых лет, применяя на практике полученные нами знания. Мы продолжаем решать задачи из раздела «Механика». На прошлом уроке мы решали задачи по кинематике и динамике. Сегодня мы закончим динамику, а также поупражняемся в решении задач по статике и законам сохранения.

Задачи по этим темам могут встречаться на ЕГЭ под номерами 2, 3 (динамика), 4 (законы сохранения), 5 (статика и механика жидкостей), 6, 7, 29 (вся механика), а также задания по механике могут встречаться среди заданий №23-25, 28. Чтобы ориентироваться в распределении заданий ЕГЭ по темам, вы можете ознакомиться со спецификацией КИМ для проведения ЕГЭ.

В разделе «Динамика» главными инструментами решения задач являются три закона Ньютона, а также формулы для расчета изученных сил: гравитационного притяжения, реакции опоры, трения, упругости, веса. Эти формулы вы можете вспомнить, вернувшись к урокам по динамике. Приступим к решению задач.

Задача

А3.3 Деревянный брусок, площади граней которого связаны отношением , скользит равномерно и прямолинейно под действием горизонтальной силы  по шероховатой опоре, соприкасаясь с ней гранью площадью . Какова масса бруска, если коэффициент трения бруска об опору равен ?

1)

2) 

3) 

4) 

Анализ условия

- в задаче описано тело, которое движется под действием некоторых сил, будем применять второй закон Ньютона.

- по условию, на брусок действует сила , сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения (опора, по условию, шероховатая).

- брусок движется равномерно прямолинейно, то есть ускорение равно нулю.

- сила трения вычисляется по формуле . Обратим внимание, что сила трения зависит только от коэффициента трения и силы реакции опоры и не зависит от площади поверхности прикосновения.

Решение

Обозначим на рисунке силы, действующие на тело. Выберем систему координат. Удобно направить оси координат так, чтобы силы действовали вдоль осей, например, вот так.

Применим второй закон Ньютона, ускорение равно нулю: .

В проекции на оси координат, учитывая, запишем:

Получили систему уравнений, которую осталось решить и получить массу бруска.

Правильный вариант ответа – 3.

Задача

А21.2 Массивный груз, покоящийся на горизонтальной опоре, привязан к лёгкой нерастяжимой веревке, перекинутой через идеальный блок. К веревке прикладываем постоянную силу , направленную под углом  к горизонту (см. рис.). Зависимость модуля ускорения груза от модуля силы  представлена на графике. Чему равна масса груза?

1)

2)

3)

4)

Анализ условия

- в задаче описано тело, на которое действуют силы и которое при этом сначала покоится, а затем движется с ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.

- используется неподвижный блок, который меняет направление действия силы, но не изменяет ее модуль. Значит, по третьему закону Ньютона, нить действует на груз с силой натяжения , которая не зависит от угла .

- график показывает зависимость ускорения, с которым движется тело, от приложенной к нему силы . График делится на два участка: на первом участке тело покоится (сила недостаточна, чтобы поднять тело), на втором оно движется с ускорением.

- на первом участке графика тело лежит на опоре, на него действует сила тяжести, сила натяжения нити и сила реакции опоры, которая уменьшается со временем. На втором участке тело движется, действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, значения которой мы можем получить на графике. Рассмотрим второй участок графика.

Решение

Рассмотрим тело, которое уже движется (второй участок графика). Выберем систему координат. Силы действуют вдоль одной прямой, направим ось координат по ходу движения тела.

Применим второй закон Ньютона: .

В проекции на ось координат запишем: .

Осталось только выразить массу: 

.

Подставим значения  и  в любой точке второго участка графика, например, точки  – начало второго участка, момент отрыва тела от опоры, здесь можно точно определить значения  и .

Если мы выберем точку, в которой нельзя точно определить значения  и  , например,  , получим приближенный ответ: 

.

Правильный ответ указан под номером 3.

Задача

А3.4 К системе из кубика массой 1 кг и двух пружин приложена постоянная горизонтальная сила  (см. рис.). Система покоится. Между кубиком и опорой трения нет. Левый край первой пружины прикреплен к стенке. Удлинение первой пружины равно . Вторая пружина растянута на . Жесткость первой пружины . Жесткость второй пружины равна:

1)

2)

3) 

4) 

Анализ условия

- описана система из двух пружин, которая находится в равновесии. Будем применять первый закон Ньютона.

- на тело массой  действует сила тяжести, сила реакции опоры и силы упругости первой о второй пружины  и  (см. рис.). Поверхность, по условию, гладкая, трения нет.

- по закону Гука, модуль силы упругости равен .

Решение

Выберем систему координат. Направим оси координат так, чтобы силы были направлены вдоль осей, как показано на рисунке.

Применим первый закон Ньютона:.

В проекции на оси координат с учетомзапишем:

Второе уравнение системы не содержит необходимой для решения задачи информации, а из первого уравнения осталось только выразить искомую величину : .

Правильный ответ указан под номером 1.

Элементы статики. Механика жидкостей и газов

В рамках статики мы изучали тела, находящиеся в состоянии механического равновесия, то есть неподвижные или движущиеся без ускорения. В зависимости от решаемой задачи для описания тела мы используем одну из двух моделей: материальная точка, если размерами тела можно пренебречь и нам не важно, в какую точку тела приложена сила, и тело, если пренебречь его размерами нельзя.

Условие равновесия материальной точки следует из первого закона Ньютона: материальная точка пребывает в равновесии, если на нее не действуют силы или сумма сил, приложенных к точке, равна нулю.

Условий равновесия тела два.

1) Первое условие такое же, как и для материальной точки: векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю: .

2) Сумма моментов сил равна нулю: .

Из механики жидкостей и газов мы должны запомнить главное: жидкость (и газ, при условии, что его плотность не меняется с высотой) на глубине  создает давление . На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила Архимеда, равная , где  – плотность жидкости или газа, – объем погруженного тела.

Задача

А6.3 Коромысло весов, к которому подвешены на нитях два тела (см. рис.), находится в равновесии. Как нужно изменить плечо , чтобы после увеличения массы первого тела в три раза равновесие сохранилось. Коромысло и нити считать невесомыми.

1) увеличить в 6 раз

2) уменьшить в 6 раз

3) уменьшить в 3 раза

4) увеличить в 3 раза

Анализ условия

- в задаче описано коромысло, которое пребывает в равновесии.

- нам важно, куда именно приложены силы, где именно прикреплены грузы, поэтому считать коромысло материальной точкой нельзя, будем использовать условия равновесия тела.

Решение

На коромысло действуют силы натяжения подвеса  и силы со стороны грузов  и .

В задаче спрашивается о плече силы, поэтому будем применять второе условие равновесия.

Выберем систему координат, удобно считать моменты сил относительно токи подвеса коромысла, чтобы момент силы  был равен нулю. Положительным направлением вращения выберем направление против часовой стрелки.

Применим второе условие равновесия тела: .

В выбранной системе координат запишем: .

Массу первого тела увеличили в три раза , при этом изменили плечо первой силы и равновесие сохранилось. Запишем: .

Получили систему уравнений, из которой осталось только выразить . Из первого уравнения запишем: .

Подставим во второе уравнение: .

Плечо  нужно уменьшить в три раза, правильный ответ – 3.

Задача

А6.4 Аквариум (см. рис.) доверху заполнили водой. Найдите давление воды на дно аквариума. Плотность воды равна . Атмосферное давление не учитывать.

1) 

2) 

3) 

4) 

Анализ условия

- описан заполненный водой аквариум.

- вода на глубине создает давление .

Решение

Требуется найти давление воды на дно аквариума. Высота аквариума равна , аквариум заполнен доверху, значит, на дно давит столб воды высотой . Давление равно:. Правильный ответ – 4.

Законы сохранения (начало)

Изучая взаимодействие тел, мы изучили два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Давайте кратко вспомним, как они формулируются и при каких условиях выполняются.

Импульс тела массой , движущегося со скоростью , по определению, равен . Закон сохранения импульса можно сформулировать так: суммарный импульс замкнутой системы тел не изменяется.

Замкнутая система тел – это такая система, в которой тела взаимодействуют только с телами, принадлежащими этой системе. Если система не замкнута, т.е. действует внешняя сила  на протяжении времени , то импульс системы меняется на .

Мы изучили два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией обладает движущееся тело:  . Тело, которое находится на высоте , обладает потенциальной энергией . Деформированная на  пружина жесткостью  обладает потенциальной энергией  .

Закон сохранения полной механической энергии выполняется в замкнутой системе, в которой не действуют неконсервативные силы: в изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

При наличии неконсервативных сил они совершают работу, равную изменению полной механической энергии: .

Работа – это скалярное произведение силы, которая выполняет работу на перемещение тела, над которым выполняется работа.

Мощность – это скорость выполнения работы:  .

Задача

А4.1 Одинаковые шары движутся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, указанных стрелками на рисунке, и абсолютно неупруго соударяются. Как будет направлен импульс шаров после их столкновения?

1)

2)  

3) 

4) 

Анализ условия

- описано абсолютно неупругое столкновение шариков, ничего не сказано о внешних силах, будем считать систему замкнутой.

- в замкнутой системе суммарный импульс не изменяется.

- импульсы шариков и  равны по модулю, т.к. равны массы шариков и модули скоростей. Направления импульсов шариков совпадают с направлениями скоростей, которые показаны стрелками.

Решение

Суммарный импульс шариков – это векторная сумма импульсов. Сложим векторы по правилу параллелограмма.

Получили направление суммарного импульса шариков до столкновения. Столкновение абсолютно неупругое, значит, шарики слипаются и продолжают движение вместе, их импульс равен . По закону сохранения импульса, импульс шариков после столкновения равен найденному суммарному импульсу шариков до столкновения. Его направление правильно указано под номером 2.

Задача

А4.2 Мальчик массой 50 кг находится на тележке массой 50 кг, движущейся по гладкой горизонтальной дороге со скоростью  . Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик прыгнет с неё со скоростью  относительно дороги в направлении, противоположном первоначальному направлению движения тележки?

1) 

2)   

3)  

4) 0

Анализ условия

- описана система тел (мальчик и тележка), систему можем считать замкнутой, т.к. сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга, а сила трения равна нулю (дорога, по условию, гладкая).

- будем применять закон сохранения импульса. Обозначим на рисунке скорости тележки и мальчика до и после прыжка (см. рис.). До прыжка мальчик и тележка двигались вместе с общей скоростью , после прыжка скорости соответственно равны  и .

Решение

Выберем систему координат. Направим ось координат в сторону движения тележки с мальчиком до прыжка.

Применим закон сохранения импульса: .

В проекции на ось координат и с учетом того, что массы тележки и мальчика равны (), запишем: .

Остается только выразить и вычислить скорость тележки после прыжка.

Правильный вариант – 2.

Задача

А4.4 Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы , направленной вдоль этой прямой импульс, вес тела уменьшился от  до . Для этого потребовалось:

1)

2)

3)

4)

Анализ условия

- описано тело, импульс которого изменяется под действием силы.

- если сила  действует на тело на протяжении времени , то ее импульс меняется на величину.

Решение

В данной задаче нас не интересуют направления силы и импульса, поэтому запишем по модулю:.

Остается выразить интервал времени и вычислить его.

Правильный ответ указан под номером 2.

Задача

А5.4 Груз брошен под углом к горизонту (см. рис.). Какой график изображает зависимость полной механической энергии  груза от времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ условия

- описана система, в которой на тело действует только сила тяжести, которая является консервативной. Сопротивлением воздуха мы пренебрегли.

- полная механическая энергия системы, в которой действуют только консервативные силы, не изменяется.

График, на котором полная механическая энергия не изменяется со временем, – это график 1.

Задача

А5.1 Два груза одинаковой массы подняли в верхнюю точку гладкой наклонной плоскости: один груз – втаскивая наверх вдоль наклонной плоскости, а другой – поднимая вертикально. При этом модуль работы против силы тяжести, действующей на грузы, …

1) зависит от угла наклона плоскости

2) больше при подъеме груза вдоль наклонной плоскости

3) одинаковый для обоих грузов

4) больше при подъеме груза вертикально вверх

Анализ условия

- описаны два случая подъема груза.

- работа против силы тяжести равна по модулю работе силы тяжести. Поверхность, по условию, гладкая, трения нет.

- сила тяжести – консервативная, а работа консервативных сил не зависит от траектории груза.

Следовательно, работа против силы тяжести одинакова для обоих грузов, вариант ответа – 3.

Законы сохранения (продолжение)

Задача

В1.1 На тело, поступательно движущееся в инерциальной системе отсчета, действовала равнодействующая постоянная сила  в течение времени . Если время  действия силы увеличится, то как изменится модуль импульса силы, модуль ускорения тела и модуль изменения импульса тела?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Анализ условия

- на тело действует сила, которая, по второму закону Ньютона, сообщает телу ускорение и вызывает изменение импульса.

Применим второй закон Ньютона: . Ускорение – это по определению скорость изменения скорости:  . Импульс, по определению, равен , тогда запишем: . Величина  называется импульсом силы. Его модуль  при увеличении  увеличивается, в таблицу запишем вариант 1. Ускорение тела равно  . Его модуль не зависит от , запишем вариант 3, не изменится.

Модуль изменения импульса тела равен модулю импульса силы , который при увеличении  увеличивается, в таблицу запишем вариант 1. В итоге получили ответ .

Задача

А22.4 Снаряд массой , летящий с некоторой скоростью, разрывается на два осколка. Первый осколок массой летит под углом  к первоначальному направлению со скоростью . Скорость второго осколка равна . Найти скорость снаряда.

1)

2)

3)

4)

Анализ условия

- в задаче описан снаряд, который разрывается на два осколка, будем применять законы сохранения.

- во время взрыва высвобождается дополнительная энергия, поэтому полная механическая энергия не сохраняется.

- осколки отталкиваются друг от друга, т.е. взаимодействуют между собой. Нас интересует скорость осколков сразу после разрыва, поэтому действием силы тяжести за короткий отрезок времени сразу после разрыва можем пренебречь. Систему можно считать замкнутой, будем применять закон сохранения импульса.

- до разрыва импульс системы – это импульс снаряда .

- после разрыва импульсы осколков равны  и , направление  указано,  направим произвольно, как показано на рисунке.

Решение

Выберем систему координат. Направим ось Ох в направлении движения снаряда до разрыва, а ось Оу перпендикулярно ей, в направлении движения первого осколка.

Применим закон сохранения импульса: . В проекциях на выбранные оси координат запишем: . .

Можно заметить, что векторы образуют прямоугольный треугольник с катетами  и ы   и гипотенузой . Тогда, по теореме Пифагора, запишем: .
Если масса снаряда 2 кг, масса первого осколка 1 кг, то и масса второго осколка 1 кг. Вычислим: 

.

Правильный ответ под номером 4.

Если не использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, то ответ получим, решая систему уравнений: .

Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения

 .

Выразим из второго уравнения : .

Запишем основное тригонометрическое тождество.

Получили ту же формулу, которую использовали и при другом способе решения, после вычислений получим тот же ответ 

Задача

А5.2 Искусственный спутник обращается вокруг Земли по вытянутой эллиптической орбите. Выберите верное утверждение о потенциальной энергии и полной механической энергии спутника.

1) Потенциальная и полная механическая энергия спутника достигают максимальных значений в точке минимального удаления от Земли.

2) Потенциальная и полная механическая энергия спутника достигают максимальных значений в точке максимального удаления от Земли.

3) Потенциальная энергия достигает максимального значения в точке максимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.

4) Потенциальная энергия достигает максимального значения в точке минимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.

В задаче описано движение спутника под действием силы тяжести. Сила тяжести является консервативной, значит, к системе применим закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия неизменна, что соответствует утверждениям 3 и 4.

Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте  над поверхностью Земли, равна , значит, потенциальная энергия достигает максимального значения в точке максимального удаления спутника от Земли. Правильный вариант – 3.

Задача

А5.5 Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности земли, достигло максимальной высоты . С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1)

2)

3)

4)

Анализ условия

- описано движущееся под действием силы тяжести тело. Сила тяжести – консервативная сила, будем применять закон сохранения энергии.

- уровнем нулевой потенциальной энергией удобно принять поверхность Земли.

- в начальный момент времени тело находилось на поверхности, т.е. потенциальная энергия тела равна нулю, и имело скорость , т.е. обладало кинетической энергией  .

- на максимальной высоте тело остановилось, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна .

Решение

Применим закон сохранения энергии: .

Остается только выразить и вычислить начальную скорость:.

Правильный ответ – 2.

Задача

А22.3 Горизонтально расположенная невесомая пружина с жесткостью  находится в недеформированном состоянии. Один ее конец закреплен, а другой касается бруска массой , находящегося на горизонтальной поверхности. Брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. На какую длину  была сжата пружина, если после отпускания бруска его скорость достигла величины  ? Трение не учитывать.

1) 

2)

3)

4)

Анализ условия

- описано тело, движущееся под действием силы упругости.

- после того как брусок отпустили, на него действует только сила упругости, которая является консервативной, сила тяжести и сила реакции опоры, которые уравновешиваются и на энергию тела не влияют. Трения нет. Система замкнутая, можем применять закон сохранения энергии.

- рассмотрим систему в два момента времени. В первый момент брусок покоился, пружина была сжата и обладала потенциальной энергией . Во второй момент брусок движется со скоростью , обладает кинетической энергией и больше не повышает скорость, пружина в недеформированном состоянии.

Решение

Применим закон сохранения энергии: . Остается только выразить и вычислить :.

Правильный ответ – 1.

Законы сохранения (окончание)

Задачи 28–32 второй части заданий ЕГЭ требуют полного решения в бланке ответов. Мы решали такие задачи из ЕГЭ за 2013–2014 гг. на занятиях по соответствующим темам. Вы можете посмотреть их решения, вернувшись к этим занятиям: занятие 13, часть 3 – последняя задача (о разорвавшемся снаряде); занятие 15, часть 4 – задача о лыжнике, выполняющем трюк; занятие 17, часть 2 – задача о горке с двумя вершинами.

Сегодня мы решим еще одну задачу этого уровня сложности.

Задача

С2.2 К одному концу лёгкой пружины жёсткостью   прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости . Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.

Анализ условия

- описано движение груза под действием приложенных к нему сил.

- в начальный момент времени груз покоится, пружина растянута и обладает потенциальной энергией  . Далее груз движется и останавливается в новом положении, в котором пружина сжата и обладает потенциальной энергией .

- в системе действовала неконсервативная сила – сила трения, значит, полная механическая энергия не сохраняется. Работа неконсервативной силы равна изменению полной механической энергии . Сила трения уменьшит энергию системы, значит, максимальным было растяжение пружины в первый момент: .

- во втором положении груз покоится под действием силы упругости, силы трения, силы тяжести и силы реакции опоры. Будем применять первый закон Ньютона.

Решение

Выберем систему координат. Направим ось Ох, как показано на рисунке, вдоль направления движения груза. Ось Оу направим перпендикулярно Ох вверх.

Применим закон сохранения энергии при наличии неконсервативных сил: .

В первый момент при растянутой пружине энергия системы равна , во второй (при сжатой пружине) энергия системы равна . Работа силы трения по определению равна . В проекции на ось , груз переместился на . Получим: .

Отметим на рисунке силы, действующие на груз во втором положении:

Сила трения направлена против возможного смещения груза под действием силы упругости. Груз покоится, по первому закону Ньютона, запишем: . В проекциях на выбранные оси координат, с учетом того что, по закону Гука, сила упругости по модулю равна , а сила трения : .

Получили систему уравнений, которую остается только решить и получить искомую массу:
.

Математическая часть решения задачи 

Выразим из третьего уравнения силу реакции опоры: . Подставим во второе уравнение и выразим из него : .. Преобразуем первое уравнение с учетом .

Подставим .

Подставим значения и вычислим: 

Заключение

На этом уроке мы решали задачи ЕГЭ предыдущих лет по темам:

динамика; элементы статики; закон сохранения импульса; закон сохранения энергии.

На следующем уроке мы будем решать задач ЕГЭ прошлых лет из раздела «Молекулярно-кинетическая теория» и повторим:

• основное уравнение МКТ;

• уравнение состояния идеального газа;

• изопроцессы.