09. Повторение. Решение задач ЕГЭ предыдущих лет по теме “Молекулярно-кинетическая теория”

Введение в МКТ

Мы продолжаем повторять пройденный материал и практиковаться в решении задач. Сегодня мы займёмся повторением раздела «Молекулярно-кинетическая теория». Среди задач ЕГЭ этому разделу могут соответствовать задания с 7 по 12 и с 23 по 26.

Изучая молекулярно-кинетическую теорию, мы ввели ряд величин, с помощью которых удобно количественно описывать вещество. Давайте их вспомним.

Концентрация молекул – это количество молекул в единице объёма: .

Плотность – это масса вещества на единицу объёма:  . Так как даже в небольшой массе вещества количество молекул колоссально, удобнее считать их некоторыми порциями. Такая порция – 1 моль – содержит  молекул. Это количество называется числом Авогадро.

Количество таких порций называется количеством вещества и вычисляется по следующей формуле: .

Масса одного моля вещества называется молярной массой. Её можно найти по следующей формуле: .

Также напомню, что важно различать микропараметры газа (те, которые можно применить к одной молекуле – например, масса или объём молекулы). И макропараметры (их можно применить только к системе молекул – например, концентрация или количество вещества).

Приступим к выполнению заданий:

Если толченый мел размешать в воде, то частицы мела будут долго висеть в толще воды, не оседая на дно. Это явление объясняется тем, что:

1) вода выталкивает их вверх, согласно закону Архимеда;

2) частицы мела совершают броуновское движение в воде;

3) Земля не притягивает столь мелкие частицы;

4) температура частиц мела выше температуры воды.

Давайте последовательно рассмотрим предложенные варианты ответов.

1)     Сила Архимеда равна весу вытесненного объёма воды. Объём каждой частицы мела мал, поэтому сила Архимеда, действующая на такую частицу, будет тоже мала.

2) Броуновское движение – это беспорядочное движение микроскопических видимых, взвешенных в жидкости или газе частиц твердого вещества, вызываемое тепловым движением частиц жидкости или газа. Частица мела – это и есть микроскопическая частица твёрдого вещества. Значит, этот вариант правильный.

3) Сила гравитационного взаимодействия с Землей действует на частицы мела, просто она пренебрежимо мала по сравнению с силами, действующими на частицы мела, при столкновениях с молекулами воды.

4) Температура частиц мела вследствие установления теплового равновесия будет равна температуре воды.

В каких телах – твердых, жидких или газообразных – происходит диффузия?

1) только в жидких,

2) только в твердых,

3) только в газообразных,

4) в твердых, жидких и газообразных.

Диффузия — это процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объёму. Диффузия происходит за счет непрерывного хаотического движения молекул, которое свойственно всем агрегатным состояниям. Следовательно, она происходит с телами во всех агрегатных состояниях – и в твёрдом, и в жидком, и в газообразном.

Правильный вариант ответ – 4.

Стоит добавить, что скорость диффузии для разных агрегатных состояний будет разной. В газах из-за больших расстояний между частицами диффузия протекает быстрее, чем в жидкостях или твёрдых телах. В жидкостях диффузия протекает быстрее, чем в твёрдых телах, и медленнее, чем в газах. И медленнее всего диффузия протекает в твёрдых телах.

Основное уравнение МКТ

Основное уравнение МКТ связывает микропараметры и макропараметры идеального газа. Оно имеет следующий вид: . Это уравнение можно записать несколькими способами.

С учётом того, что концентрация ,  . С учётом того, что произведение количества молекул на массу молекулы равно общей массе газа,.

. По определению,  – это плотность . Значит, . Кинетическая энергия одной молекулы  по определению, .

Также нужно помнить, что температура одноатомного идеального газа однозначно определяется средней кинетической энергией движения его атомов: .

Приступим к решению задач на основное уравнение МКТ.

Диффузия в жидкости происходит быстрее при повышении температуры, потому что с повышением температуры:

1) увеличиваются силы взаимодействия молекул,

2) увеличивается скорость теплового движения молекул,

3) жидкости расширяются,

4) уменьшаются силы взаимодействия молекул.

Диффузией называется процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого. Этот процесс происходит до выравнивания концентраций обеих жидкостей по всему объёму. При этом перенос вещества происходит из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией.

Диффузия происходит за счет непрерывного хаотического движения молекул. С ростом температуры возрастает скорость и кинетическая энергия движения молекул и их скорость, что и приводит к увеличению скорости диффузии.

Следовательно, правильный вариант ответа – второй, увеличивается скорость теплового движения молекул.

Как изменится давление разреженного одноатомного газа, если абсолютная температура газа уменьшится в два раза, а концентрация молекул увеличится в два раза?

1) увеличится в 4 раза

2) уменьшится в 4 раза

3) увеличится в 2 раза

4) не изменится

Давайте порассуждаем. В задаче описан разреженный одноатомный газ в двух состояниях. Эти состояния отличаются давлением, концентрацией и температурой. Связь давления, концентрации и энергии теплового движения молекул описывается основным уравнением МКТ. Энергия теплового движения молекул в свою очередь связана с температурой, которая изменяется в условиях задачи. Значит, применив эти зависимости, мы сможем связать температуру газа с давлением.

Перейдём к решению:

Запишем основное уравнение МКТ в следующем виде: .

Запишем выражение для средней кинетической энергии движения молекул: .

Подставим выражение для энергии в основное уравнение МКТ и получим: . В задачах довольно часто используется основное уравнение МКТ, записанное в таком виде.

Давайте запишем основное уравнение МКТ для двух состояний:

И условий задачи известно, что .

Решив полученную систему, мы получим искомое соотношение давлений 
То есть давление не изменится, правильный вариант ответа – .

Математическая часть решения задачи

,

Подставим третье и четвёртое уравнение во второе, получим: .

Сократим двойку: .

Найдём искомое соотношение: 
Следовательно, давление не изменится.

Абсолютная температура идеального газа в сосуде снизилась в 2,5 раза, а давление возросло при этом в 5 раз. Как изменилась концентрация молекул газа?

1) уменьшилась в 12,5 раза

2) увеличилась в 2 раза

3) уменьшилась в 2 раза

4) увеличилась в 12,5 раза

Задача аналогична предыдущей. Попробуйте решить её самостоятельно. Если возникнут сложности – подробное решение есть в ответвлении.

Решение задачи

Давайте порассуждаем. В задаче описан разреженный одноатомный газ в двух состояниях. Эти состояния отличаются давлением, концентрацией и температурой. Связь давления концентрации и температуры описывается основным уравнением МКТ, значит, записав его для двух состояний, мы сможем выразить искомое соотношение. Перейдём к решению.

Давайте запишем основное уравнение МКТ для двух состояний

И условия задачи известно, что .

Решив систему, мы получим искомое соотношение концентраций

Подставим третье и четвёртое уравнение во второе, получим: .

Выразим из первого и второго уравнений и : ,

Теперь мы можем найти искомое соотношение: .

Следовательно, концентрация увеличилась в раз, правильный вариант ответа – .

Температура в холодных облаках межзвездного газа составляет около , а давление газа достигает.  Оцените концентрацию молекул межзвездного газа.

1)

2)

3)

4)

Давайте порассуждаем. Связь давления концентрации и температуры описывается основным уравнением МКТ. Нам известна температура и давление, этого достаточно, чтобы определить концентрацию газа.

Запишем основное уравнение МКТ: . Выразим искомую концентрацию: .

Подставим данные из условия и рассчитаем ответ. Значение постоянной Больцмана: . Если вы не помните её значение, значения констант даны на специальной странице перед вариантом ЕГЭ.

Правильный вариант ответа – 4.

Уравнение состояния идеального газа

Есть три основных макропараметра, описывающих состояние идеального газа: давление , объем  и температура . Их связывает уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева – Клапейрона: .

При решении задач, в которых не изменяется количество газа (то есть отсутствуют его поступления или утечки), удобно записать уравнение состояния в следующем виде: .

Давайте выполним несколько заданий на уравнения состояния идеального газа.

На высоте 200 км температура воздуха  составляет примерно , а плотность .
Оцените давление воздуха на этой высоте.

1)  

2)

3)

4)

Давайте порассуждаем:

- в задаче описан воздух, значит, будем использовать модель идеального газа;

- состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева – Клапейрона.

Перейдём к решению. Запишем уравнение состояния . Из условия нам известна температура и плотность, которая, по определению, равна . Мы получили систему уравнений, решив которую сможем найти давление воздуха. Подробное решение вы можете посмотреть в ответвлении. . Правильный вариант ответа – 4.

Решение системы

Выразим из второго уравнения массу –и подставим её в первое уравнение: . Выразим из второго уравнения массу – и подставим её в первое уравнение: . Разделим обе части уравнения на объём и получим: .

Мы получили выражения для давления, теперь давайте подставим данные из условия и рассчитаем ответ: .

Правильный вариант ответа – 4

Зависимость объема идеального газа от температуры показана на VT-диаграмме.

В какой из точек давление газа максимально? Масса газа постоянна.

1) А

2) В

3) С

4) D

Давайте порассуждаем. На графике в координатах V(T) показан процесс, который происходит с идеальным газом. Состояние идеального газа в каждой точке описывается уравнением состояния. В условии сказано об отсутствии утечек и поступлений газа – его масса постоянна.

Приступим к решению. Нам нужно оценить давление газа и определить точку, в которой оно максимально. Давайте выразим из уравнения состояния давление:  .

Масса газа постоянна по условию. Молярная масса также постоянна, так как речь идёт об одном и том же газе. Значит, давление будет максимальным в точке, где отношение  принимает максимальное значение. Так как график дан в координатах  – отношение    в некоторой точке – это котангенс угла наклона прямой, проходящей через эту точку и начало координат. Котангенс угла тем больше, чем меньше сам угол.

Посмотрим на график. Самый маленький с горизонтальной осью угол составляет прямая, проходящая через начало координат и точку . В ней отношение  , а значит, и давление будет максимальным. Правильный вариант ответа – 4.

С идеальным газом происходит циклический процесс, диаграмма  которого представлена на рисунке. Наименьшая низкая температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 300 К. Определите количество вещества этого газа.

1)

2)

3)

4)

Давайте порассуждаем. На графике в координатах  изображён циклический процесс, который происходит с идеальным газом. Состояние газа в каждой точке описывается уравнением Менделеева – Клапейрона. В нашем распоряжении все точки на графике и наименьшая температура. Определив точку, в которой газ охлаждается до неё, мы будем знать все три макропараметра газа в этом состоянии и сможем выразить количество вещества.

Перейдём к решению. Итак, сначала давайте определим, в какой же точке температура будет наименьшей.

Выразим температуру из уравнения состояния.

Масса и молярная масса постоянны, значит, минимальной температурой газ будет обладать в том состоянии, в котором давление и объём минимальны.

По графику видим, что этому описанию соответствует состояние, в котором давление равно 100 кПа, а объём равен 3л.

Для наглядности, если изобразить в координатах несколько изотерм для разных температур, то чем ближе к началу координат лежит изотерма, тем меньше температура. Если провести изотермы через каждую точку процесса на графике, то ближе всех к началу координат окажется та изотерма, которая пройдёт через точку с давлением и объёмом .

Значит, остаётся выразить из уравнения состояния количество вещества и подставить макропараметры в описанной выше точке. Количество вещества .

Запишем уравнение состояние и выразим .

.

Подставим макропараметры газа в точке с минимальной температурой:

 .

Правильный ответ – вариант 3.

Разогретую колбу плотно закрыли пробкой и оставили остывать. Какое из приведенных ниже уравнений точнее описывает процесс, происходящий при этом с воздухом в колбе?

1) 

2) 

3) 

4) 

Давайте порассуждаем:

- в условии описан процесс остывания (то есть понижения температуры) воздуха в закрытой колбе;

- для воздуха будем использовать модель идеального газа;

- так как колбу плотно закрыли пробкой, считаем, что утечек и поступлений воздуха нет – количество вещества постоянно;

- состояние воздуха в колбе в каждый момент времени будет описываться уравнением состояния идеального газа: .

- объём колбы неизменен – значит, процесс изохорный, для него будет выполняться закон Шарля:  .

Отсюда следует, что отношение давления и температуры в каждый момент времени будет постоянным. В процессе остывания давление, как и температура, будет уменьшаться. Из предложенных вариантов ответа подходит вариант 2.

Изопроцессы

Запишем уравнение состояния идеального газа: . Если количество вещества не изменяется (), то, разделив обе части равенства на температуру, получим: .

Это выражение связывает три макропараметра, причём его значение постоянно, если в процессе сохраняется количество вещества. Если определённое количество газа  переходит из одного состояния в другое, сохраняя один из макропараметров постоянным, то выполняется один из газовых законов.

Если постоянная температура, процесс называется изотермическим и выполняется закон Бойля – Мариотта: . Если постоянно давление, процесс называется изобарным и выполняется закон Гей-Люссака: .

Если постоянен объём, процесс называется изохорным и выполняется закон Шарля: .

Давайте выполним несколько заданий на изопроцессы. На диаграмме отображена последовательность трех процессов () изменения состояния идеального газа. Какова эта последовательность процессов в газе?

1) сжатие нагреваниеохлаждение

2) нагреваниерасширение при постоянной температуре сжатие

3) охлаждение расширение при постоянной температуресжатие

4) расширениенагреваниеохлаждение

Давайте порассуждаем:

- на графике в координатах p(T) задан процесс, который происходит с идеальным газом.

- состояние идеального газа в каждой точке описывается уравнением состояния идеального газа.

- нам задано количество молей газа, которое не изменяется в ходе процесса (отсутствуют утечки или поступления вещества извне). А раз количество вещества не изменяется, значит, в случае, если один из макропараметров (давление, температура или объём) в ходе какого-либо процесса останется неизменным, будет выполняться один из газовых законов – Бойля – Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.

- проследив по графику изменения давления и температуры, мы сможем понять, как изменяется давление.

Приступим к решению. Давайте проанализируем каждый процесс по очереди.

Первый процесс. Температура не изменяется  – процесс изотермический. Выполняется закон Бойля – Мариотта .

Давление повысилось в 3 раза, значит, объём уменьшился в 3 раза. Значит, это процесс сжатия.

Второй процесс. Температура повышается, значит, это процесс нагревания.

Третий процесс. Давление не меняется, значит, процесс изобарный. Выполняется закон Гей-Люссака: .

Температура понизилась в 3 раза, значит, объём тоже уменьшился в 3 раза. Значит, это процесс охлаждения и сжатия.

Из представленных вариантов ответа нам подходит 1 –сжатие, нагревание, охлаждение.

Воздух медленно сжимают в цилиндре под поршнем. Стенки цилиндра и поршень изготовлены из тонкого, но прочного металла. Какое из приведенных ниже уравнений точнее всего описывает процесс, происходящий при этом с воздухом под поршнем?

1) 

2) 

3) 

4) 

Давайте порассуждаем:

- описан воздух в цилиндре, будем использовать модель идеального газа.

- состояние идеального газа в любой момент времени описывается уравнением Менделеева – Клапейрона.

- так как стенки цилиндра и поршень выполнены из прочного материала– отсутствуют утечки и поступления воздуха.

- так как процесс протекает медленно, а стенки цилиндра и поршень тонкие – между ними и окружающей средой успевает установиться тепловой равновесие. Значит, температура воздуха внутри цилиндра в ходе процесса не меняется – процесс изотермический, будет действовать закон Бойля – Мариотта: .

Из предложенных вариантов правильным является вариант 1.

Влажность

Абсолютная влажность воздуха – это масса водяного пара в единице объема воздуха: . Она определяется давлением  или плотностью пара .

При определенной температуре воздух способен содержать ограниченное количество пара. Оно определяется давлением или плотностью насыщенного пара при этой температуре. Пар сверх этого количества будет конденсироваться – выпадать в росу.

Относительная влажность воздуха – это отношение давления или плотности водяного пара в воздухе, к давлению или плотности насыщенного пара при данной температуре:  .

Выполним несколько заданий на эту тему.

Относительная влажность воздуха в закрытом сосуде 30%. Какой станет относительная влажность, если объем сосуда при неизменной температуре уменьшить в 2 раза?

1)

2)

3)

4)

Давайте порассуждаем:

- речь идёт об относительной влажности воздуха в закрытом сосуде;

- по определению, относительная влажность: ;

- по основному уравнению МКТ  на давление влияют температура в сосуде и концентрация частиц в объёме воздуха;

- температура, по условию задачи, не изменяется;

- давление насыщенного пара при определённой температуре тоже постоянно;

- концентрация, по определению, равна ;

- так как сосуд закрыт, количество частиц не изменяется, значит, на концентрацию будет влиять только изменение объёма;

- связав изменение давления и изменение объёма, мы сможем выразить относительную влажность после изменения объёма.

Перейдём к решению. Запишем выражение для относительной влажность для двух состояний системы.

Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний системы.

Запишем выражение для концентрации для двух состояний системы:

.

По условию, объём уменьшился в 2 раза: .

Мы получили систему из семи уравнений, решив которую найдём искомую относительную влажность во втором состоянии. Подробное решение системы вы можете пронаблюдать в ответвлении.

Правильный вариант ответа – 1.

Решение системы

Подставим  из седьмого уравнения в шестое: . Подставим значения концентраций из 5 и 6 уравнений в 3 и 4: 

.

Выразим из первого уравнения давление и подставим в 3:

Выразим количество молекул  и подставим в 4 уравнение:

И подставим полученное давление во втором состоянии во 2 уравнение:

Сократив одинаковые множители, получим: .

По условию, относительная влажность в первом состоянии равна , значит, .

Правильный ответ – вариант 1

В закрытом сосуде находится водяного пара под давление и при температуре . Не изменяя температуры, объем сосуда уменьшили в четыре раза. Найдите массу образовавшейся при этом воды.

1)

2)

3)

4)

Давайте порассуждаем:

- описан водяной пар в закрытом сосуде – что это значит? Это значит, что отсутствуют утечки и поступления воздуха извне.

- в начальном состоянии в сосуде находится водяной пар, а в конечном – часть его конденсируется в воду; это значит, что в ходе процессе сжатия в какой-то момент пар становится насыщенным.

- в этот момент давление пара в сосуде становится равным давлению насыщенного пара при данной температуре и далее в процессе конденсации уже не изменяется.

- для воздуха мы можем использовать модель идеального газа, состояние которого в любой момент времени описывается уравнением Менделеева – Клапейрона.

Перейдём к решению. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для пара в начальном и конечном состояний системы.

По условию, .

Масса сконденсировавшейся воды будет равна разности массы водяного пара в начальном и конечном состоянии: .

Давление , как мы уже отметили в рассуждениях, это давление насыщенного водяного пара при температуре, которая нам известна из условия – при. Кипение воды и конденсация водяного пара при нормальном атмосферном давлении происходит как раз при температуре. Значит, давление в конечном состоянии равно нормальному атмосферному давлению .

Мы получили систему уравнений, решив которую сможем найти искомую массу воды.

Решение системы вы можете проследить в ответвлении.Полученный ответ . Правильный вариант – первый.

Решение системы

Подставим объём из третьего уравнения во второе: .

Выразим объём из первого уравнения и подставим во второе.

Разделим обе части на  и умножим на : . Подставим выраженную массу пара в четвёртое уравнение:  .

Подставим числа и рассчитаем ответ: .

Масса сконденсировавшейся воды –

Правильный вариант ответа –

Заключение

На этом уроке мы решали задачи ЕГЭ предыдущих лет по темам:

Основное уравнение МКТ. Уравнение идеального газа. Изопроцессы. Влажность.

На следующем уроке мы займёмся решением задач по теме «Термодинамика».