05. Промежуточный срез №7. Повторение

Кинематика. Динамика. Статика. Механика жидкостей. Законы сохранения

Мы закончили изучение всех разделов курса школьной физики. На следующих уроках мы сконцентрируемся на повторении материала и решении реальных заданий ЕГЭ прошлых лет. Каждому разделу физики мы уделим отдельное занятие.

Но прежде чем приступить к практическим урокам по отдельным темам, сегодня мы ещё раз кратко пройдёмся по каждому из разделов. И вспомним самые важные физические законы, необходимые для выполнения заданий.

Все виды движения, которые мы изучали, можно условно разделить на два типа и описать с помощью всего лишь трёх формул. В первом случае ускорение постоянно по величине и направлению. Для описания такого движения нам понадобятся всего две формулы: .

И определение ускорения как изменения скорости за единицу времени: . Если ускорение равно нулю, движение превращается в равномерное и прямолинейное.

Выбрав систему координат и записав в проекциях на оси приведённые уравнения, мы получим систему, которая полностью описывает движение тела.

Второй случай – это движение, при котором присутствует постоянная компонента ускорения, направленная в любой момент времени под прямым углом к скорости. Это компонента называется центростремительным ускорением. Его наличие приводит к движению по окружности: .

Динамика изучает причины возникновения движения. Для решения задач достаточно помнить законы Ньютона. Второй закон Ньютона выглядит так: .

Если учесть определение ускорения, то можно записать это выражение через изменение импульса. Импульс по определению равен произведению массы и скорости: .

Первый закон Ньютона – это частный случай второго. Если сумма всех сил равна нулю, то и ускорение равно нулю – то есть тело сохраняет скорость и направление движения. Третий закон Ньютона говорит о том, что силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулям и направлены по одной прямой в разные стороны.

Для решения задач по статике нам необходимо помнить два условия равновесия тела.

1) Векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю: .

2) Сумма моментов сил равна нулю: .

Выражение для давления жидкости на глубине  можно выразить через определение давления – сила на единицу площади. А также определение плотности как массы единицы объёма. Давление оказывает сила тяжести, действующая на слой воды:  .

На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила Архимеда, равная , где  – плотность жидкости или газа,  – объем погруженного тела. Суммарный импульс замкнутой системы тел не изменяется.

Движущееся тело обладает кинетической энергией: .

Тело, которое находится на высоте , обладает потенциальной энергией: .

Деформированная пружина жесткостью  обладает потенциальной энергией: .

В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется. При наличии неконсервативных сил они совершают работу, равную изменению полной механической энергии: .

Работа – это скалярное произведение силы, которая выполняет работу, на перемещение тела, над которым выполняется работа: .

Мощность – это скорость выполнения работы: .

Итак, ещё раз посмотрим на основные формулы и законы, необходимые для решения задач по механике.

Теперь давайте решим расчётную задачу на механику.

Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой . Угол между плоскостями . Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки  с начальной скоростью  под углом  к прямой . В ходе движения шайба съезжает на прямую  в точке . Пренебрегая трением между шайбой и наклонной плоскостью, найдите расстояние .

Давайте порассуждаем.

- Движение шайбы описывается уравнениями кинематики.

- Для того чтобы понять, каким именно будет движение, нам необходимо понять направление ускорения.

- На шайбу в любой точке траектории будут действовать две силы – сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.

- По второму закону Ньютона, суммарная сила создаст ускорение, мы сможем определить его величину и направление.

Перейдём к решению:

Итак, давайте выберем систему координат и запишем второй закон Ньютона в проекциях на её оси. Ось направим в наклонной плоскости, перпендикулярно линии пересечения плоскостей . Ось  перпендикулярно наклонной плоскости.

Тогда в проекциях на оси второй закон Ньютона будет выглядеть так:

:

:

Отсюда следует, что ускорение шайбы будет направлено по оси .

Теперь опишем процесс движения шайбы с помощью уравнений кинематики. Для этого удобно выбрать другую систему координат. Ось  оставим прежней. А ось  направим вдоль линии пересечения наклонной и горизонтальной плоскостей .

Запишем уравнения кинематики в проекциях по оси.

Так как ускорение по оси : .

Движение по оси  будет равноускоренным. Изначально скорость направлена против оси, а ускорение по оси. Значит, в наивысшей точке траектории скорость станет равна нулю.

Мы получили систему из пяти уравнений, решив которую найдём искомое расстояние .

Молекулярно-кинетическая теория. Термодинамика

Для решения задач по молекулярно-кинетической теории необходимо помнить основное уравнение МКТ и уравнение состояния идеального газа. Основное уравнение МКТ: .

Уравнение состояния идеального газа: .

Этих выражений достаточно, чтобы описать состояние вещества. В частности, если вы забыли законы, описывающие изопроцессы, можно получить их из уравнения состояния, просто выразив не изменяющийся макропараметр.

Для решения задач по термодинамике необходимо помнить два закона термодинамики, выражения для максимально возможного КПД замкнутого цикла (цикла Карно) и уравнение теплового баланса.

Первый закон термодинамики: .

При переходе системы из одного состояния в другое количество теплоты , переданное системе, затрачивается на изменение внутренней энергии системы  и выполнение газом работы .

Выражение для внутренней энергии идеального газа выглядит так: .

Второй закон термодинамики: невозможно перевести тепло от более холодной системы к более горячей при отсутствии других одновременных изменений в обеих системах или в окружающих телах.

КПД цикла Карно: .

Уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное телами, входящими в замкнутую систему, равно количеству теплоты, полученному телами этой же системы – .

Тело отдает либо принимает количество теплоты , в зависимости от процесса. Если процесс протекает внутри одного агрегатного состояния, он описывается следующим выражением: .

Переходы между агрегатными состояниями, а также процесс горения топлива описывается следующим выражением: , где  в зависимости от процесса может быть удельной теплотой плавления, парообразования, горения топлива и т.д.

Итак, ещё раз посмотрим на все формулы и законы, необходимые для решения задач по МКТ и термодинамике.

Решим задачу.

Воздушный шар, оболочка которого имеет массу  и объем , наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окружающего воздуха . Какую минимальную температуру  должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.

Давайте порассуждаем:

- Какие силы будут действовать на шар? Во-первых, сила тяжести, причём она будет действовать как на воздух внутри шара, так и на оболочку. Направлена сила тяжести  вертикально вниз.

- Также на шар будет действовать сила Архимеда, направленная вверх.

- Шар начнёт подниматься вверх, когда сила Архимеда превысит силу тяжести.

- Состояние нагретого воздуха внутри шара описывается уравнением состояния идеального газа.

Приступим к решению.

Выберем систему координат. В данном случае все силы направлены вдоль одной прямой, поэтому нам будет достаточно одной координатной оси. Направим ось вертикально вверх.

Запишем условие начала подъёма: .

– это масса нагретого воздуха внутри шара. Так как при нагревании воздух будет расширяться (а шар имеет отверстие), часть нагретого воздуха покинет шар и его масса уменьшится.

Выражение для силы Архимеда будет выглядеть так: , где  – это плотность воздуха вокруг шара и внутри шара до нагревания. А  – объём шара.

Запишем уравнение, описывающие состояние воздуха внутри шара в начальном и нагретом состояниях.

Массу воздуха внутри шара можно представить через плотность и объём.

Таким образом, мы получили систему уравнений, решив которую найдём искомую температуру , при которой шар начнёт подниматься.

Электричество и магнетизм

Раздел «Электричество и магнетизм» можно условно разделить на электростатику, электрический ток и магнетизм. Вспомним основные формулы и законы электростатики.

Закон Кулона: . Заряды одного знака отталкиваются с силой , разных притягиваются.

Определение напряжённости как силы, действующей на заряд: .

Определение разности потенциалов (напряжения) между двумя точками как работы, необходимой для перемещения единицы заряда между ними: .

Определение ёмкости конденсатора как накопленного на нём заряда на единицу приложенного напряжения: .

Формулу для нахождения ёмкости конденсатора через геометрические параметры: .

И энергию электрического поля внутри конденсатора: .

Вспомним основные инструменты для решения задач на электрический ток.

Определение тока: . Закон Ома для полной цепи: .

Частный случай закона Ома для полной цепи – закон Ома для участка цепи. В этом случае в формуле отсутствует внутреннее сопротивление источника.

Расчёт сопротивления при последовательном и параллельном соединении резисторов осуществляется с помощью следующих выражений. Для последовательного соединения:

Для параллельного:

Воспользовавшись определениями напряжения как работы по переносу единичного заряда и тока как скорости переноса заряда, можно получить выражения для работы, которую совершает ток. В соответствии с законом сохранения энергии она будет выделяться в качестве теплоты: .

Вспомним основные инструменты решения задач на магнетизм. На проводник с током или заряженную частицу в магнитном поле действуют силы Ампера и Лоренца. Их модули равны:

 – на проводник с током

 – на движущийся заряд

Правило левой руки для определения их направления: если расположить ладонь левой руки так, чтобы 4 пальца руки показывали направление движения положительного заряда (или противоположное движению отрицательного), линии магнитной индукции входили в ладонь, то большой палец покажет направление силы.

Выражения для ЭДС индукции. В проводнике, движущемся в магнитном поле: .

В замкнутом контуре при изменении магнитного потока :

Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван.

Итак, ещё раз посмотрим на все формулы и законы, необходимые для решения задач по МКТ и термодинамике.

Проводник движется равноускоренно в однородном вертикальном магнитном поле. Направление скорости перпендикулярно проводнику. Длина проводника – . Проводник перемещается на за некоторое время. При этом начальная скорость проводника равна нулю, а ускорение . Найдите индукцию магнитного поля, зная, что ЭДС индукции на концах проводника в конце движения равна .

Давайте порассуждаем. Между концами проводника движущегося в магнитном поле возникнет ЭДС индукции. Выражение для ЭДС индукции выглядит следующим образом: .

В нашем случае проводник движется перпендикулярно направлению вектора магнитной индукции поля, значит, синус тета равен единице. Так как  и  не меняются, значение ЭДС в каждый момент времени зависит только от скорости.

Проводник движется равноускоренно. Пользуясь законами кинематики, мы сможем выразить его скорость после заданного перемещения.

Перейдём к решению. Запишем законы, описывающие движения проводника. Так как начальная скорость равна нулю, пройденный путь: .

Скорость в конце заданного в условиях участка будет равна: .

ЭДС индукции в момент, когда проводник окажется в конце заданного участка, будет равна: .

Мы получили систему, решив которую найдём искомое значение .

Колебания и волны. Оптика

Раздел «Колебания и волны. Оптика» можно условно разделить на три подраздела: колебания и волны, геометрическая оптика, волновая оптика.

Мы изучали гармонические колебания, уравнение, описывающее их, выглядит так: .

На месте синуса может стоять и другая гармоническая функция – косинус. В процессе механических гармонических колебаний по этому закону изменяется не только координата тела, а также скорость и ускорение. Получить выражение для скорости можно, взяв первую производную по времени от координаты, а ускорение – вторую производную по времени от координаты.

Также мы изучили модели математического и пружинного маятников. Формулы для периода этих маятников выглядят так. Математический: . Пружинный: .

Волна представляет собой колебания, распространяющиеся в пространстве. Она характеризуется скоростью распространения и расстоянием, которое она проходит за один период – длиной волны. Они связаны между собой следующим соотношением: .

Помимо механических колебаний и волн, мы изучили электромагнитные колебания и волны. В процессе свободных колебаний в контуре гармонически изменяются заряд и напряжение на конденсаторе, и ток в катушке. Период электромагнитных колебаний в таком контуре находится по формуле Томпсона: .

Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью света . Для них также справедливо выражение, связывающее частоту и длину волны, только скорость в этом случае постоянна и равна скорости света: .

В волновой оптике мы изучили явления интерференции и дифракции. Интерференция – это явление наложения когерентных волн – волн одинаковой частоты с постоянной разностью фаз в данной точке.

Поведение двух сложившихся волн в данной точке зависит от их разности хода. Она равна разности пройденных волнами расстояний до данной точке пространства: .

Условие максимума интерференционной картины выглядит так: .

А минимума – так: .

Дифракция света – это способность световой волны огибать препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны. На данном явлении основан принцип работы дифракционной решетки. Она представляет собой совокупность большого числа (порядка тысячи на ) регулярно расположенных очень узких щелей в пластинке. Лучи, прошедшие через щели, взаимодействуют, и на экране за дифракционной решеткой наблюдается интерференционная картина.

Условия максимумов интерференционной картины: , где  – период дифракционной решетки,  – порядок максимума,  – угол, под которым виден максимум.

Модель геометрической оптики рассматривает распространение света. Оно описывается тремя законами:

1) В оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно.

2) Падающий и отраженный лучи и перпендикуляр к отражающей поверхности, опущенный в точку падения луча, лежат в одной плоскости. Угол падения равен углу отражения.

3) Падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела, опущенный в точку падения луча, лежат в одной плоскости.

Отношение синусов угла падения и угла отражения является величиной постоянной для двух данных сред и равняется относительному показателю преломления второй среды относительно первой: .

Законам геометрической оптики подчиняются линзы. Их свойства мы будем использовать при построении изображений, полученных с их помощью.

Связь между фокусным расстоянием линзы , расстоянием от линзы до предмета  и до изображения  называется формулой тонкой линзы: .

Фокусное расстояние считается отрицательным, если линза рассеивающая. Расстояние от линзы до изображения считается отрицательным, если изображение мнимое.

Итак, ещё раз посмотрим на формулы и законы, которые нам пригодятся при выполнении заданий, соответствующих разделу «Колебания и Волны. Оптика».

Решим задачу. Небольшой груз, подвешенный на нити длиной , совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает . При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите амплитуду колебаний смещения груза на экране.

Давайте порассуждаем. Речь идёт о гармонических колебаниях груза, подвешенного на нити, будем пользоваться моделью математического маятника. В то же время раз колебания гармонические, значит, они описываются уравнением гармонических колебаний.

С помощью линзы колебания проецируются на экран. Амплитуда колебаний груза и колебаний на экране будут связаны аналогично размерам предмета и изображения.

Линейное увеличение для линзы равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета, которые нам известны из условия.

Значит, найдя амплитуду колебаний груза и посчитав коэффициент линейного увеличения, мы легко найдём амплитуду колебаний на экране.

Приступим к решению. Запишем уравнение гармонических колебаний: .

В условиях нам дана максимальная скорость. Давайте выразим её из уравнения гармонических колебаний.

Производная от координаты по времени – это скорость: .

Максимальное значение косинуса – . Следовательно, максимальная скорость будет равна: .

Период колебаний математического маятника равен: .

Период и циклическая частота связаны следующим соотношением: .

Запишем выражение для линейного увеличения линзы: . И в то же время , где  – это амплитуда колебаний на экране.

Также запишем формулу тонкой линзы, связывающую расстояние от линзы до предмета, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние: .

Мы получили систему уравнений, решив которую найдём искомую амплитуду колебаний на экране.

Специальная теория относительности. Квантовая физика

В этом разделе мы изучили СТО, модель строения атома, излучение и поглощение атомами электромагнитных волн, а также строение атомного ядра и ядерные реакции.

Специальная теория относительности Эйнштейна строится на двух постулатах:

1. Все законы физики во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

2. Скорость света в вакууме  не зависит от скорости движения источника, то есть скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Вспомним формулы, по которым вычисляются время, размеры и масса, если система отсчета движется со скоростью  относительно наблюдателя.

Относительная скорость двух тел равна (релятивистский закон сложения скоростей): .

Эти эффекты заметны при скоростях, сравнимых со скоростью света. Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы и наоборот. Они связаны следующим выражением: . Это выражение для энергии в состоянии покоя.

Полная релятивистская энергия движущегося тела равна: .

В соответствии с квантовой гипотезой Планка энергия принимает дискретные значения: .

Квант света, который можно считать безмассовой частицей – фотоном, при достаточной энергии выбивает из вещества фотоэлектрон. Описывающее этот процесс уравнение фотоэффекта выглядит так: .

Фотон как частица имеет импульс: .

Фотон ведет себя и как частица, что проявляется при фотоэффекте, и как волна, что проявляется в явлениях дифракции и интерференции. Эта двойственность называется корпускулярно-волновым дуализмом. Он проявляется не только у фотонов. Любая движущаяся частица проявляет волновые свойства, для нее длина волны равна: .

Актуальная модель строения атома – модель Нильса Бора, описывается следующими постулатами.

1. Электроны в атомах движутся по орбитам определенного радиуса, которые называются стационарными (или разрешенными).

2. Движение электрона по стационарной орбите не сопровождается излучением или поглощением энергии.

3. При переходе с одной стационарной орбиты с энергией  на другую с энергией  излучается или поглощается квант энергии: .

Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов (вместе они называются нуклонами). Обозначение атомного ядра элемента  выглядит так: , где  – это количество всех нуклонов, а  – это количество протонов.

Ядра атомов одного и того же элемента могут содержать разное количество нейтронов. Такие атомы называются изотопами.

Нуклоны удерживаются в ядре благодаря ядерным силам. Энергия связи нуклонов в атомном ядре достаточно большая, чтобы заметно повлиять на массу и привести к дефекту массы ядра. Энергия связей равна: .

Выражение для дефекта массы ядра выглядит так: .

В процессе любой ядерной реакции соблюдается закон сохранения заряда и массы.

Возможные продукты самопроизвольного радиоактивного распада: -частица – это ядро гелия , -частица – это электрон  или, если оговорено, позитрон , -частица – это квант энергии, не имеющий заряда и массы покоя.

Для процесса радиоактивного распада справедлива следующая зависимость: , где  – количество нераспавшихся ядер в некоторый момент времени.  – количество ядер в момент .

Итак, посмотрим ещё раз на основные формулы и законы, которые необходимо знать для выполнения заданий по теме «СТО и квантовая физика».

Решим задачу.

Фотокатод, покрытый кальцием, освещается светом с длиной волны . Работа выхода электронов из кальция равна . Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции этого поля и движутся по окружности с максимальным радиусом . Каков модуль индукции магнитного поля ?

Давайте порассуждаем. В задаче идёт речь о явлении фотоэффекта. Выбиваемые электроны после выхода из вещества обладают кинетической энергией, максимальное значение которой мы можем выразить из уравнения фотоэффекта.

Попадая в магнитное поле электроны обладают скоростью. А значит, на них начинает действовать сила Лоренца.

Так как вектор магнитной индукции поля перпендикулярен скорости частиц, в любой момент времени сила действует строго перпендикулярно скорости электронов. А значит, она вызывает центростремительное ускорение, которое приводит к движению по окружности.

По окружностям с большим радиусом будут двигаться электроны с большей скоростью, а значит, и большей кинетической энергией.

Приступим к решению. Запишем уравнение фотоэффекта: . И связь частоты с длиной волны: .

Запишем выражение для силы Лоренца: . Запишем второй закон Ньютона: . И выражение для центростремительного ускорения: .

Мы получили систему из 5 уравнений, решив которую найдём искомое значение модуля индукции магнитного поля .

Заключение

На этом уроке мы кратко прошлись по изученным разделам школьной физики, повторили основные формулы и законы, а также решили несколько задач. Основной целью занятия было показать, что, обладая пониманием физических процессов и зная самые основные описывающие их законы и формулы, можно успешно выполнять большинство заданий.

Начиная со следующего урока, мы ещё раз подробнее остановимся на каждом из разделов и попрактикуемся в решении заданий ЕГЭ прошлых лет.