25. Два метода для скрещивающихся прямых

Определение угла скрещивающихся прямых и расстояния между ними

Известно, что для скрещивающихся прямых типовыми являются задачи по нахождению угла и расстояния между ними, мы рассмотрим два метода решения этих задач:

1. Метод перпендикулярной плоскости

2. Координатный метод

Определение

Скрещивающимися прямыми называются такие прямые, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1).

Для этих прямых существуют две основные задачи:

• Нахождение угла между прямыми

• Нахождение расстояния между этими прямыми

Для решения первой задачи выбирается любая удобная (для конкретной задачи) точка (O) и проводится прямая a'; параллельная прямой a, прямая b'; параллельная прямой b (рис. 2).

Угол между прямыми a' и b' называется углом между скрещивающимися прямыми a и b.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра, существует единственный перпендикуляр PQ (рис. 1), который перпендикулярен первой и второй прямой, так вот расстоянием между прямыми a и b является длина перпендикуляра PQ.

Метод перпендикулярной плоскости

Метод перпендикулярной плоскости:

Есть две прямые a и b, они скрещиваются (рис. 3).

Рассмотрим плоскость γ, перпендикулярную прямой a, это первое действие в методе, надо найти такую плоскость, которая перпендикулярна одной из прямых, например прямой a.

Следующее действие – найти проекцию этих прямых на плоскость γ, проекцией прямой a на плоскость γ является точка A, проекцией прямой b на плоскость γ является прямая b'.

Далее найдем расстояние от точки A до прямой b', в этом случае мы находим расстояние PQ между скрещивающимися прямыми. Углом является угол, таким образом, с помощью метода перпендикулярной плоскости, решаются в общем виде две важнейшие задачи.

Координатный метод

Координатный метод начинается с выбора удобной системы координат, и далее учитываются свойства скрещивающихся прямых.

Пусть заданы две прямые, прямая a и прямая b.

На прямой a выбирается вектор , на прямой b выбирается вектор (рис. 4):

Известно, что через прямую a можно провести единственную плоскость α, которая будет параллельна прямой b, аналогично через прямую b можно провести единственную плоскость β, которая параллельна прямой a. Таким образом, мы имеем пару параллельных плоскостей.

Каким образом решаются две основные задачи?

Косинус угла между векторами и между прямыми находится следующим образом: модуль скалярного произведенияна, деленный на модуль вектораи модуль вектора.

Ясно, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между плоскостями α и β, можно взять удобную точку Q и найти расстояние от точки Q до плоскости α, координатный метод легко позволяет это сделать.

Решение задач методом перпендикулярной плоскости

Далее рассмотрим детали методов на примере конкретной задачи:

В пирамиде

Точки E, D – середины ребер BC и AB (рис. 5).

Найти: угол; расстояние ρ между прямыми SE и CD.

Решение:

Задана пирамида SABC, в основании лежит равносторонний треугольник, известна длина стороны, ребро SC перпендикулярно плоскости, и длина этого ребра тоже известна. Точка E – середина BC, точка D середина AB, есть прямая SE и прямая CD, ясно, что они скрещиваются, нам требуется найти угол и расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Решаем первую задачу.

Поведем CN || AB и EN || CD, тогда,– это искомый угол, действительно, удобной оказалась точка E и угол находится в треугольнике SEN, значит, необходимо найти его элементы:

Нашли одну сторону искомого треугольника, далее докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором один из катетов уже найден. Второй катет SN находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SCN:

Первая задача решена.

Решаем вторую задачу (рис. 6).

Напомним: необходимо найти расстояние, между скрещивающимися прямыми SE и CD, используем метод перпендикулярной плоскости.

Значит, нужно построить плоскость γ, перпендикулярную прямой CD.

SC по условию перпендикулярно CD, CN перпендикулярно CD по построению, значит, прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым, значит, она перпендикулярна всей плоскости SCN, таким образом, за плоскость γ  удобно взять плоскость SCN:

Нашли плоскость γ, далее необходимо спроектировать обе прямые на эту плоскость:

Таким образом, искомое расстояние ρ – это расстояние между точкой C и прямой SN, т. е. в треугольнике SCN проводим высоту CH, это и будет искомое расстояние

Находим расстояние через площадь треугольника SCN:

Ответ: искомое расстояние есть

Решение задач координатным методом

Решение задач координатным методом (рис. 7).

Вводим удобную систему координат xyz, далее находим координаты интересующих нас точек (линейные размеры мы все уже нашли):

Далее находим координаты интересующих нас векторов:

Далее по известной формуле находим cos искомого угла:

Ответ: искомый угол

Решаем вторую задачу координатным методом.

Необходимо через прямую SE провести плоскость SEN параллельно второй прямой CD, нам известно, что точки SEN лежат на плоскости, которая параллельна прямой CD.

Нужно найти 4 числа a; b; c; d.

Подставляем координаты точки SEN в уравнение плоскости:

Имеем всего три уравнения для четырех неизвестных a; b; c; d.

 Данная система имеет бесчисленное множество решений, нам достаточно найти одно из них.

Учтем следующие обстоятельства: плоскость SEN явно не проходит через начало координат, поэтому, удобно положить:

Подставляем в уравнение координаты любой точки лежащей на прямой CD, удобно взять точку C:

Ответ:

Задача решена.

Вывод

На данном уроке мы рассмотрели два метода для скрещивающихся прямых, метод перпендикулярной плоскости и координатный метод, решили задачи по каждому методу.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл./Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ-2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ-2009/Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Cleverstudents.ru (Источник).

2. Cleverstudents.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра, длина ребра которого равна 1.

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние между прямыми AB₁ и BC₁. Длина ребра куба равна 3.

3. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DN и CL где

   M – середина ребра BC,

   L – середина ребра AB.