03. Движение и подобие в пространстве. Базовый уровень

Движение в пространстве

Начнем с понятия отображения пространства на себя.

Оно идентично отображению плоскости на себя, с которым мы уже знакомы.

Итак, пусть каждой точке пространства  поставлена в соответствие точка . Точку  мы будем называть образом точки , а саму точку  прообразом точки  (рис. 1).

Если каждой точке пространства соответствует образ, и кроме того, каждая точка имеет прообраз, то говорят, что задано отображение пространства на себя. Исходя из определения понятно, что отображение пространства – это функция.

Что будет происходить с геометрическими телами при отображении пространства?

Произвольное отображение скорее всего отправит точки одного тела в совершенно разные места пространства. То есть тело при отображении скорее всего разорвется и будет размазано по большой, может быть даже бесконечной области (рис. 2).

Но мы хотим рассмотреть такой математический инструмент, который будет описывать процессы, происходящие в реальной жизни, и который окажется полезным для расчетов.

Понятно, что движение предмета в обычном понимании не подразумевает его разрывание на множество частей и разлету их в разные места. Если мы передвинем какой-то объект, то все его точки должны располагаться относительно друг друга точно так же, как и до перемещения (рис. 3).

Это достаточно сложное требование. На самом деле достаточно потребовать, чтобы сохранились расстояния между точками (рис. 4). Для математического движения это и будет основным его свойством.

Дадим определение движения. Отображение пространства на себя называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Т.е. расстояние между любыми двумя точками должно быть равно расстоянию между их образами (рис. 5).

Если проводить аналогию с числовыми функциями, то таким свойством обладают только очень простые из известных нам функций. Например,  сохраняет расстояние. То есть, если мы возьмем два любых числа  и , то функция увеличит каждое из этих чисел на , но расстояние между образами останется тем же (рис. 6).

Функция  уже изменяет расстояния, увеличивает их в три раза (рис. 7).

Покажем, что движение, определенное таким образом, в самом деле сохраняет форму объекта, т.е. описывает движение в привычном нам бытовом смысле.

Теорема. Движение сохраняет форму объекта.

Покажем, что при движении отрезок переходит в отрезок.

Посмотрим на образ отрезка  (рис.8). Его концы перейдут в точки  причем, расстояние между ними будет тоже самое.

Рассмотрим произвольную точку  отрезка . Ее образ  (рис. 9).

Т.е. .

Но это возможно только если  лежит на отрезке . В самом деле, если предположить, что  не лежит на , то по неравенству треугольника  (рис.10)

Теперь легко показать, что прямая переходит в прямую.

Отметим на прямой  точки  и . Они перейдут в точки  и . Проведем через них прямую . Покажем, что  и есть образ прямой  (рис. 11).

Для этого отметим на прямой  точку  (рис.12). Если она лежит между  и , то есть на отрезке , то  лежит на отрезке , а значит и на прямой .

Если  лежит между  и , то  лежит на отрезке  (рис.13). В любом случае  лежит на прямой .

Все эти рассуждения мы уже проводили в планиметрии. Новым будет утверждение, что плоскость переходит в плоскость.

Отметим на плоскости  три точки ,  и , не лежащие на одной прямой. Пусть их образы ,,. Проведем через эти три точки плоскость . Покажем, что она и будет образом плоскости  (рис.14).

Возьмем произвольную точку на плоскости . Проведем через нее прямую так, чтобы она пересекала две стороны треугольника в точках и(рис. 15). Так как отрезки переходят в отрезки, то образы этих двух точек  и  будут лежать на образах соответствующих сторон треугольника, т.е. в плоскости . Точка (образ ) лежит на прямой , а, следовательно, и в плоскости. Таким образом, все точки плоскостипереходят при движении на плоскость .

Так как выпуклый многогранник однозначно задается своими гранями и ребрами (то есть отрезками и плоскостями) (рис. 16), то многогранник при движении переходит в многогранник (рис. 17).

Так как трехмерное тело можно сколь угодно приблизить набором таких многогранников, то мы делаем общий вывод: при движении любое трехмерное тело или плоская фигура переходят в им равные.

Таким образом, математическое движение в самом деле описывает привычное нам движение в быту.

Параллельный перенос

Теперь рассмотрим виды движений. Всего их будет пять – три мы знаем из планиметрии (параллельный перенос, центральная и осевая симметрия), ещё один мы определим с учётом появления третьего измерения (поворот не вокруг точки, а вокруг оси), а ещё один будет специфическим, то есть не имеющим аналога на плоскости (третий вид симметрии – зеркальная симметрия).

Начнём с параллельного переноса, который нам знаком уже по планиметрии.

Каждую точку пространства передвинем на вектор  (рис. 19).

То есть, рассмотрим такое отображение, что для любой точки  и ее образа : .

Сначала попробуйте самостоятельно доказать, что такое отображение является движением, т.е. сохраняет расстояния между точками.

Доказательство:

Итак, возьмем две точки  и . Построим их образы  и  (рис. 20).

Так как векторы  и   равны, то две противоположные стороны четырехугольника  равны и параллельны, а значит, он является параллелограммом. Следовательно .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, а, следовательно, является движением. (Параллельный перенос – движение, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние).

Если рассмотреть модель координат в пространстве, то параллельный перенос на вектор  означает добавление к координатам точки координат вектора переноса.

Виды симметрии в пространстве

В планиметрии мы рассматривали два вида симметрии – центральную (относительно точки) и осевую (относительно прямой). Интуитивно мы не очень склонны считать симметрию движением. Но любая симметрия соответствует определяющему свойству движения – сохраняет расстояние между точками. Поэтому как математический инструмент, мы ее, конечно, относим к движению.

Понятие центральной симметрии в пространстве практически не отличается от такого же понятие на плоскости. Выберем точку , которая будет являться центром симметрии. Точки  и  называются симметричными относительно точки , если точка  – середина отрезка  (рис. 21).

Центральной симметрией назовем такое отображение пространства на себя, при  котором любая точка переходит в точку, симметричную ей относительно центра . Точка  называется центром симметрии.

Покажем, что центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния.

Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояние.

Доказательство:

Пусть точки  и  имеют образы  и  (рис. 22). Тогда  треугольники  и  равны по первому признаку, следовательно  (рис. 23).

Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояние, т.е. является движением.

Выведем формулы преобразования координат при центральной симметрии.

Пусть центр симметрии имеет координаты: . Рассмотрим точку  и ее образ  (рис. 24).  Так как  – середина отрезка , то ее координаты равны среднему арифметическому координат точек  и :

, ,

Выразим координаты образа, т.е. :

Конечно, удобно в качестве центра симметрии брать начало координат. Тогда точка  имеет нулевые координаты и формулы преобразования координат принимают очень простой вид:

То есть, чтобы точку отобразить симметрично началу координат, нужно поменять знак у всех ее координат (рис. 25).

Осевая симметрия в пространстве определяется так же, как и в планиметрии. Точки  и  называются симметричными относительно прямой , если отрезок  пересекает прямую а под прямым углом и точкой пересечения делится пополам (рис. 26).

Отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в точку , симметричную ей относительно прямой , называется осевой симметрией. Прямая  называется осью симметрии.

Теорема. Осевая симметрия является движением.

Зададим прямоугольную систему координат, приняв ось симметрии за ось  (ось аппликат).

Рассмотрим точку  и ее образ  (рис. 27). Так как отрезок  перпендикулярен оси , то он параллелен плоскости . Следовательно точки  и  имеют одинаковые аппликаты (координаты ).

Проекции точек  и  на ось  имеют те же самые абсциссы и ординаты, что и сами точки и нулевые аппликаты (рис. 28). Но эти точки симметричны относительно начала координат. Следовательно, их абсциссы и ординаты отличаются только знаками. Таким образом, мы получили формулы преобразования координат:

Если бы координата  тоже меняла свой знак, то мы получили бы не осевую, а центральную симметрию.

Теперь посмотрим, что происходит с расстоянием между точками при осевой симметрии. Пусть точки и  имеют образы и  (рис. 29).

Найдем координаты векторов  и :

Воспользуемся формулами преобразования координат (; ; )  для второго вектора:

Таким образом, первые две координаты у этих векторов отличаются знаком, а третьи совпадают. Так как длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то длины этих векторов равны, а значит равны расстояния между прообразами и образами. Итак, осевая симметрия является движением.

Новым для нас видом симметрии является симметрия относительно плоскости. Ее еще называют зеркальной симметрией. Название связано с тем, что именно зеркально симметричное отображение мы видим в зеркале.

По понятным причинам ее не могло быть в планиметрии.

Две точки называются симметричными относительно некоторой плоскости, если отрезок, их соединяющий, пересекает плоскость под прямым углом и делится точкой пересечения пополам (рис.31).

Теорема. Зеркальная симметрия является движением.

Используем снова координатный метод. Пусть плоскостью симметрии будет плоскость . Тогда у образа и прообраза отличаются только аппликаты своим знаком, а абсциссы и ординаты совпадают (рис.32).

Рассмотрим расстояния между точкам  и  и их образами при зеркальной симметрии  и . Пусть точки  и  имеют координаты:  и . Тогда их образы:  и .

У векторов  и  тоже отличаются только аппликаты и только знаком:

Понятно, что длины таких векторов равны. Следовательно, зеркальная симметрия является движением, так как сохраняет расстояния.

Поворот вокруг оси

Последним типом движения, который мы рассмотрим, будет поворот вокруг прямой. Он очень напоминает поворот вокруг точки на плоскости.

Чтобы повернуть точку  вокруг прямой  на угол  проведем плоскость через точку  перпендикулярно прямой . В этой плоскости уже и осуществим поворот. То есть построим точку  таким образом, чтобы , а угол  был равен углу поворота  (рис. 33).

Рассмотрим поворот двух точек и изучим, что происходит с расстоянием между ними. Проведем через точки  и  плоскости, перпендикулярные оси поворота. Повернем каждую точку на угол  в своей плоскости.  перейдет в , а  в  (рис. 34).

Построим проекции точек  и  на верхнюю плоскость. Обозначим их  и . Очевидно,  переходит  при повороте на угол  (рис.35).

Треугольники  и  равны по первому признаку (рис. 36). Следовательно .

Тогда прямоугольные треугольники  и  равны по двум катетам.

Рис. 37. Равные треугольники ABB′ и A₁B₁B₁′

Следовательно . То есть расстояние между прообразами и образами равны. Таким образом поворот вокруг оси сохраняет расстояние и является движением.

Легко заметить, что поворот на  является осевой симметрией (рис. 38). То есть осевая симметрия – это частный случай поворота.

Вспомним для сравнения, что в планиметрии центральная симметрия являлась поворотом вокруг точки на .

Подобие в пространстве

Подобие в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Вспомним, что две основные характеристики тела – размер и форма. Подобные тела имеют одинаковую форму, но могут иметь совершенно разные размеры. Например, любые два круга подобны. Очевидно, что любые два шара также подобны (рис. 39).

Итак, два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Автомобиль и его модель – подобные тела (рис. 40).

Отношение линейных размеров подобных тел называется коэффициентом подобия (рис. 41).

В подобных телах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны (рис. 42).

Объяснение этого факта сводится к подобию треугольников, на которые можно разбить любую грань многогранника и к подобию сечений плоскостями, перпендикулярным ребрам, т.е., содержащим линейные углы двугранных углов.

Мы знаем, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия (рис. 43): .

Опять разбивая все грани на треугольники, мы приходим к выводу, что все площади поверхностей или сечений подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия (рис. 44).

Отношение объемов кубов равно кубу коэффициента подобия (так как объём куба равен , соответственно, увеличение или уменьшение длины ребра в  раз приведёт к изменению объёма куба в  раз): .

Так как любой многогранник можно приблизить кубами разных размеров, то приходим к выводу, что это справедливо и для любых тел.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.

Все наверное видели фантастические фильмы про увеличенных в силу мутации насекомых или пауков (рис. 47).

Если все линейные размеры насекомого увеличить в 100 раз, то коэффициент подобия между исходным насекомым и увеличенным будет 100. Если изначально насекомое было 0,5 см в высоту, то теперь оно будет иметь рост полметра

То же самое с длиной, 2-х сантиметровый таракан превратится в гиганта двух метров длиной. Площадь поверхности тела такого насекомого увеличится не в 100 раз, а в 100 в квадрате, то есть в 10 000 раз. А объем, следовательно и масса, - уже в миллион раз. Таким образом, если исходный таракан весил 1 грамм, то увеличенный “всего лишь в 100 раз” будет весить уже 1 тонну.

Кстати, непропорциональное увеличение поверхности тела и массы является одним из утешительных объяснений, почему такие монстры не могут существовать. Насекомое дышит через поверхность тела. Чтобы обеспечивать массу, увеличившуюся в миллион раз, нужно в миллион раз больше воздуха. Но площадь поверхности тела такого гиганта увеличится только в 10 тысяч раз. Так что, если не изменится биологическая структура мутанта, он просто задохнётся.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А. Г., Смирнова И. М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».

3. Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Ин­тер­нет-пор­тал «webmath.ru»

2. Ин­тер­нет-пор­тал «math24.ru»

Рекомендованное домашнее задание

1. Найдите координаты образов точек  при:
   а) центральной симметрии относительно начала координат
   б) осевой симметрии относительно координатных осей
   в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей

2. Какие координаты имеет точка , если при центральной симметрии с центром  точка переходит в точку .

3. Найдите объем многогранника , если известен объем подобного многогранника , а коэффициент подобия .

4. При движении прямая  отображается на прямую , плоскость  на . Докажите, что если , то .