08. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос

Введение

Некоторые виды движения мы уже изучали на предыдущих уроках. Еще одним видом движения является зеркальная симметрия.

Разумеется, все вы с ней сталкивались, когда пользовались зеркалом (Рис. 1).

Конечно, чтобы пользоваться им, не нужно знать математику, но давайте задумаемся, что происходит с геометрической точки зрения?

Зеркальная симметрия

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей относительно плоскости  точку . Что значит симметричную ей? Это значит, что отрезок  перпендикулярен плоскости  и делится ею пополам (Рис. 2).

Так что в зеркале мы видим образ, в точностью копирующий нас. Но кто сказал, что образ в точности копирует? Для этого надо доказать, что зеркальное отражение сохраняет расстояния, то есть является движением.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат  так, чтобы плоскость  совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек  и ,  и , симметричных относительно плоскости  (Рис. 3).

Найдем длину отрезков  и  по формуле расстояния между точками:

;

.

Отсюда , значит, зеркальная симметрия является движением.

Пример. Зеркальная симметрия

Как нужно написать слово РЕАНИМАЦИЯ на капоте машины скорой помощи, чтобы водитель впереди едущей машина увидел в зеркале верную надпись (Рис. 4)?

Решение: написать нужно следующим образом (Рис. 5).

Почему так? Потому что в зеркале все видится симметрично (Рис. 6).

Если отразить эту надпись, то в зеркале водитель впереди едущей машины видит РЕАНИМАЦИЯ (Рис. 7). И сразу пропустит такой автомобиль.

Кстати, зеркальная симметрия часто встречается и в природе. Человек, многие животные, рыбы и насекомые практически зеркально симметричны. Почему «практически»? Судите сами на примере человека: строение внутренних органов у человека не симметричное, зато внешне, руки, ноги, глаза, уши и т.д. человек симметричен.

Симметрично ли наше лицо?

Так симметрично ли наше лицо? Сейчас в Интернете можно найти много изображений, которые сделаны так: взята левая половинка лица, которая отражена симметрично направо в компьютерной программе, а потом аналогично с правой. Смотрите, что получается (Рис. 1).

Задача. Зеркальная симметрия

Пусть дана точка . Какие координаты будет иметь ее образ при зеркальной симметрии относительно плоскости а) , б) , в)  (Рис. 8)?

Решение

А) Когда мы отражаем относительно , то меняется знак :  (Рис. 9).

Аналогично остальные ответы: б)  и в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

Параллельный перенос

Приведем еще один пример движения пространства. Возьмем какой-нибудь вектор . Параллельным переносом на вектор  называется отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в такую точку , что  (Рис. 10).

Докажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор  любые две точки  и  переходят в точки  и . Требуется доказать, что  (Рис. 11).

Рассмотрим вектор . По правилу треугольника (Рис. 12) или  (Рис. 13).

Так как , значит, .

Мы доказали, что при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется, значит, параллельный перенос является движением.

Задачи. Параллельный перенос

Пример 1. В кубе  найти угол между прямыми  и  (Рис. 14).

Решение:

Перенесем прямую  параллельно на вектор  (Рис. 15).

Тогда прямая перейдет в прямую, параллельную ей, – прямую  (Рис. 16). Ну а угол между  и  – прямой, так как это диагонали квадрата.

Ответ: .

Пример 2. Точка  была параллельно перенесена на вектор . Какие координаты будут у ее образа?

Решение

Мы знаем, что образом точки  будет такая точка, что , то есть .

Тогда мы добавляем к координатам точки координаты данного вектора. Получается .

Ответ: .

Пример 3. В кубе  найти угол между прямыми  и  (Рис. 17).

Решение

Эту задачу можно решить и в координатах, но мы решим следующим образом. Перенесем наш куб параллельно наверх на вектор , поставив, так сказать, новый куб на старый (Рис. 18).

Тогда отрезок  перейдет в отрезок . Значит, искомый угол – это угол  (Рис. 19).

Этот угол легко ищется из треугольника  по теореме косинусов (как мы уже делали, сторону возьмем за ): ;  (из прямоугольного треугольника ).

Осталось вспомнить, что угол между прямыми должен быть острым, то есть он равен .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели ещё два вида движения – зеркальная симметрия и параллельный перенос. Также мы решили несколько задач с помощью этих видов движения.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009.

2. Геометрия 11 класс. А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.

3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

Домашнее задание

1. Точке  симметрична относительно прямой  точка… (Рис. 1)

2. Известно, что в параллельном переносе точка  переходит в точку . Определите координаты точки, в которую в этом параллельном переносе переходит точка ?

3. В координатной плоскости от начала координат отложен вектор . Вычислите координаты конечной точки вектора, который получится из данного вектора параллельным переносом на вектор .