20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку в планиметрии (опорный факт 1)

В планиметрии мы изучали окружности, описанные около треугольника, четырехугольника, -угольника. Вся теория описанных окружностей базировалась на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Точка  – середина отрезка ,  – серединный перпендикуляр.

Его свойства: серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть любая точка на серединном перпендикуляре была равноудалена от концов отрезка: .

То есть если около отрезка описать окружность, то ее центр будет лежать на серединном перпендикуляре.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку в стереометрии

В стереометрии есть аналог планиметрического серединного перпендикуляра.

Но теперь через точку , которая является серединой отрезка , проведем плоскость, перпендикулярную этому отрезку (рис. 2). Эта плоскость  есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Точка  тогда и только тогда, когда .

Вся теория описанных сфер базируется на этой теореме.

Центр сферы, описанной около отрезка AB

Центр любой описанной около отрезка  сферы лежит в плоскости .

Отрезок  может быть ребром пирамиды. У пирамиды несколько ребер, у каждого ребра есть своя плоскость . Если все эти плоскости пересекутся в одной точке, то только в этом случае около пирамиды можно описать сферу с центром в точке .

 – центр описанной сферы.

Не всякая пирамида обладает таким свойством. Треугольная обладает. Около всякой треугольной пирамиды можно описать сферу.

Каким образом строго доказать, что около всякой треугольной пирамиды можно описать сферу?

Первый путь: у пирамиды шесть ребер, шесть плоскостей . Нужно доказать, что все они пересекаются в одной точке, но это утомительно.

Опорный факт 2

Мы используем следующий опорный факт.

Пусть точка  – центр описанной около треугольника  окружности (рис. 3).

То есть . Через точку  проведен перпендикуляр к плоскости .

;

.

Прямая  есть геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника .

И обратно: если .

Итак, мы имеем два важных опорных факта: серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. Перпендикуляр , проходящий через центр описанной около треугольника окружности, есть геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника.

Теорема о сфере, описанной около треугольной пирамиды

Около треугольной пирамиды можно описать сферу, притом только одну.

Дано:

Пирамида .

Доказать:

Существование единственной точки .

 (существует единственная описанная сфера).

Доказательство

В треугольнике  найдем центр описанной окружности – точку . Через точку  проведем перпендикуляр к плоскости треугольника : .

Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от трех точек: , , .

Нужно найти такую точку на этом перпендикуляре, чтобы она была равноудалена и от четвертой точки .

Для этого проведем плоскость  следующим образом: точка  – середина отрезка . Через точку  проведем плоскость . Получим точку пересечения плоскости  и серединного перпендикуляра : .

Точка  является искомой точкой, центром описанной около треугольной пирамиды сферы.

Действительно, точка , следовательно, . Точка , значит, . Точка  равноудалена от всех вершин пирамиды. Мы доказали, что точка  является центром описанной сферы с радиусом .

Предположим, что существует другая сфера, описанная около пирамиды, с центром в точке  и радиусом . Точка  должна быть равноудалена от всех вершин, то есть лежать на пересечении перпендикуляра  с плоскостью , а значит, должна совпадать с точкой . А радиус .

Таким образом, доказано существование единственной сферы, описанной около данной треугольной пирамиды, при одном условии, что прямая  и плоскость  пересекутся.

Докажем этот важный факт. Доказательство от противного.

Предположим, что они не пересекаются, то есть параллельны:  (- по построению, , следовательно, ).

Но прямая  тоже перпендикулярна . То есть из точки  проведено два перпендикуляра к прямой . Значит,  и  совпадают, так как перпендикуляр может быть только один. Значит, точка  принадлежит плоскости , что невозможно, следовательно, наше предположение неверно,, то есть .

А значит, существует точка , равноудаленная от всех вершин данной пирамиды. Теорема полностью доказана.

Задача 1. Сфера, описанная около правильной треугольной пирамиды

Дана правильная треугольная пирамида . Известна ее высота  и сторона основания . Найти центр и радиус описанной сферы.

Дано: – правильная пирамида,  – высота пирамиды, .

Найти:

1) центр описанной сферы,

2) радиус описанной сферы.

Решение

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный треугольник и ее вершина проецируется в центр этого треугольника. То есть точка  – центр описанной около треугольника  окружности.

Проведем через точку  прямую , эта прямая является продолжением отрезка . Мы знаем, что любая точка прямой  равноудалена от вершин треугольника , в том числе и точка .

Возьмем серединный перпендикуляр  к отрезку : .

 – искомый центр описанной сферы.

Отcюда . Мы нашли центр описанной сферы.

Рассмотрим . В нем  – это искомый радиус.

 – радиус окружности, описанной около треугольника .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника  найдем радиус описанной сферы (рис. 6).

Сначала найдем  – радиус описанной около треугольника  окружности.

По теореме синусов, .

Запишем теорему Пифагора для треугольника , .

Ответ: .

Задача 2. Сфера, описанная около треугольной пирамиды

Дана треугольная пирамида . Точка  равноудалена от точек , , . Высота, опущенная из точки , равна , , , . Найти центр описанной сферы и ее радиус.

Дано:  – треугольная пирамида, , , , , .

Найти центр описанной сферы и ее радиус.

Решение: точка  равноудалена от вершин , , . Из второго опорного факта мы знаем, что она лежит на перпендикуляре к плоскости , который проходит через центр описанной около треугольника  окружности.

Определим, где расположена точка (центр описанной окружности). Рассмотрим треугольник . Его стороны равны , , , это египетский треугольник, мы знаем, что в таком треугольнике .

Запишем теорему Пифагора для треугольника : , , значит, .

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Вспомним свойства прямоугольного треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине его гипотенузы (рис. 8).

Точка  проецируется в центр описанной окружности и .

Любая точка высоты равноудалена от вершин , , , поскольку  является серединным перпендикуляром.

Проведем серединный перпендикуляр  к отрезку  в плоскости . Точка  – середина , .

Точка  – точка пересечения  и : .

Точка  является центром описанной сферы. Найдем радиус этой сферы.

Рассмотрим . Это прямоугольный треугольник. В нем  – искомый радиус описанной сферы.

, а радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть .

По теореме Пифагора, .

Заметим, что  (высоты пирамиды), значит, точка – внутренняя точка отрезка .

Ответ: ; .

Выводы

На данном уроке мы рассмотрели сферу, описанную около треугольной пирамиды, сформулировали два опорных свойства. Доказали центральную теорему о том, что около любой треугольной  пирамиды можно описать сферу и притом только одну. На уроке были решены задачи по нахождению центра описанной сферы и ее радиуса.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008 г.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 - 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011г.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион» 2008.

Рекомендованное домашнее задание

1. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды объемом  и высотой .

2. Основание треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами  и . Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол . Найти радиус описанной около этой пирамиды сферы.

Ссылки на рекомендованные ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал 1variant.ru (Источник).

2. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).

3. Интернет-портал Methmath.ru (Источник).