21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду

Повторение теории о линейном и двугранном угле

Вспомним определение линейного и двухгранного угла, а также некоторые свойства.

1. Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями (α и β), имеющими общую границу – прямую l. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранногоугла.

Двугранный угол измеряется линейным углом. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре l, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны ребру. Получили, который является линейным углом двугранного угла.

– плоскость линейного угла.

2. Рассмотрим свойство плоскости γ линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла, а именно ребру и двум плоскостям.

3. На плоскость γ весь двугранный угол проецируется в угол(рис. 2), то есть угол– проекция двугранного угла на плоскость γ.

Биссекторная плоскость, её свойства

Рассмотрим биссекторную плоскость и вспомним её свойства.

Биссекторная плоскостьдвугранного угла– геометрическое место точек, равноудалённых от граней (α и β) данного угла (рис. 3).

Спроектируем данную фигуру на плоскость линейного угла, то есть на плоскость, перпендикулярную ребру l. Ребро l проектируется в точку, плоскости (и) – в прямые. Весь двугранный угол проектируется в угол. Биссекторная плоскость проектируется в луч(рис. 4).

Так как любая точка (Q), лежащая на биссекторной плоскости, равноудалена от граней (и) двугранного угла, то в двугранный угол можно вписать сферу. Следовательно, если сферавписана в двугранный угол, это означает, что (и) – касательные плоскости. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости (). Расстояние от вершины угла (т. O) до точки Q равно расстоянию от центра сферы до ребра l двугранного угл

Задача 1. Нахождение радиуса сферы, вписанной в двугранный угол

Двугранный угол равенРасстояние между его ребром и центром вписанной сферы равноc. Найдите радиус сферы.

Дано:;

Найти:

Решение:

На рисунке 5 изображена проекция двугранного угла (он проектируется в угол). Отрезок QA, равный радиусу вписанной в угол сферы, найдём, рассмотрев треугольник QAO. Этот треугольник прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскостиУгол, так как,– биссекторная плоскость, следовательно, OQ – биссектриса. Гипотенуза. Катет QA лежит напротив угла, поэтому он равен половине гипотенузы:

Ответ:

Задача 2. Построение центра сферы, вписанной в пирамиду, нахождение её радиуса

1. Построить центрсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду

2. Найти радиус сферы, если, угол наклона боковой грани к основаниюравен

1. Дано:;(рис. 6).

Найти: 1.т.Q;; 2. r

Решение:

Центрсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, – это точка, равноудалённая от всех граней пирамиды. Докажем, что т.равноудалена от основания и одной из боковых граней (для других граней доказательство производится аналогично).

а) Выберем точкутак, чтоПроведём,– высота, следовательно, угол– линейный угол двугранного угла при основании

б) Построим биссектрису угла

в) На пересечении биссектрисы и высоты пирамидыполучим точку

г) Докажем, что точка– центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамидуДля этого из этой точки опустим перпендикуляр на апофему().перпендикулярен всей плоскости, так как, по теореме о трёх перпендикулярах,(проекциейявляется прямая, которая перпендикулярна). Таким образом,– расстояние от точкидо плоскости

– расстояние от точкидо плоскости

(по трём углам). Следовательно, точка– центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду

2. Мы узнали, что радиус вписанной сферы – это прямаяНайдём длину этой прямой из прямоугольного треугольника

а) Катет этого треугольникаявляется радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник, у которого, следовательно:

б) Угол, так как– биссектриса угла

в) Мы знаем значение катета и прилежащего к нему угла, следовательно, катетравен:

Ответ:

Задача 3. Нахождение радиуса сферы, вписанной в пирамиду, через объём пирамиды

Дано: – объём пирамиды DABC; S – площадь полной поверхности пирамиды (рис. 7).

Найти:– радиус вписанной в пирамиду сферы.

Решение:

Соединим центрвписанной в пирамиду сферы с вершинами пирамиды, тем самым разделим пирамиду DABC на четыре пирамидыОбъём пирамиды DABCравен сумме объёмов этих пирамид:

Формула расчёта объёма пирамиды:

, где S – площадь основания пирамид, h – высота пирамиды.

Высота каждой пирамиды равна r – радиусу вписанной в пирамиду сферы.

 – сумма площадей оснований пирамид, то есть площадь полной поверхности пирамиды DABC, равной S по условию:

Отсюда r – радиус вписанной в пирамиду сферы равен:

Ответ:

Задача 4. Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

Дано: S – площадь; p – полупериметр (рис. 8).

Найти:r – радиус вписанной вокружности.

Решение:

Обозначим стороны

Площадьсостоит из суммы площадей трёх треугольников

Площадь треугольника вычисляем по формуле:, где a – сторона треугольника, h – высота, опущенная на эту сторону.

, где h = r – радиус вписанной в окружности.

– полупериметр.

Отсюда r – радиус вписанной в окружности равен:

Ответ:

Подведение итогов урока

На уроке мы рассмотрели пирамиду и вписанную в неё сферу, решили типовые задачи по данной теме.

Список литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10–11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

4. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..

5. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Clck.ru (Источник).

2. Uznateshe.ru (Источник).

3. Problems.ru (Источник).

Домашнее задание

1. В правильной треугольной пирамиде MABC сторона основания равна, а боковое ребро 5. Найдите объем вписанного в пирамиду шара.

2. Ребро PA пирамиды PABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 1. В треугольнике ABC угол при вершине A прямой, а каждый из катетов AB и AC равен 2. Точки M и N – середины AC и BC соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC. 

3. Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60ᵒ. 
   В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой а, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°. Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую а. Найдите радиус меньшей сферы.