22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу

Основные опорные факты

В любой многогранник входят:

• ребра;

• двугранные углы.

Любое ребро многогранника имеет плоскость симметрии, а именно такую плоскость, которая проходит перпендикулярно ребру через его середину (рис. 1).

Все точки плоскости симметрииравноудалены от вершин ребра – концов отрезкаТак, плоскостьесть ГМТ, равноудаленных от вершин ребра.

Если все плоскости симметрии ребер многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр описанной сферы.

Каждый двугранный угол многогранника имеет биссекторную плоскость – она делит угол пополам (рис. 2).

– ребро,

Биссекторная плоскость есть ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от граней двугранного угла

Если все биссекторные плоскости многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр вписанной сферы.

Пусть существует вписанная в многогранник сфера с центром в точкеЭто означает, что все биссекторные плоскости пересеклись в этой точке. Вписанная сфера касается всех граней многогранника, ее центр удален от всех граней на расстояние– радиус сферы (рис. 3).

Пусть существует описанная сфера. Тогда все вершины многогранника лежат на описанной сфере и центр описанной сферы удален от всех вершин на расстояние R (рис. 4).

Задачи на единичный куб

Задача 1

Найти радиусы вписанной и описанной сфер для единичного куба (рис. 5).

Решение

Точка– середина диагоналикуба – есть центр вписанной и описанной сфер. Точкаравноудалена от всех вершин куба, так как все диагонали куба равны, пересекаются в одной точке и ею делятся пополам. Так, расстояние от точки до вершины куба есть величина постоянная, равная искомому радиусу описанной сферы.

Расстояниемежду плоскостями оснований куба есть диаметр вписанной сферы.

Ответ: ; 

Задача 2

Около единичного куба описана сфера. Найти радиус окружности в сечении сферы плоскостью грани куба (рис. 6).

Решение

Итак, проанализировав условие, требуется найти радиус окружности, описанной около треугольникаПлоскость гранирассекает описанную сферу по окружности – ее радиус и нужно найти. Искомым радиусом будет отрезок

Рассмотрим отдельно квадрати описанную около него окружность. Сторона квадрата равна единице по условию, найдем радиус описанной окружности:

Ответ: .

Задачи на треугольную призму

Задача 3

В правильную треугольную призму вписана сфера радиусаНайти длину бокового ребра и длину ребра основания (рис. 7).

Решение

Напомним: то, что призма правильная, означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

То, что в призму можно вписать сферу, означает, что существует точка, равноудаленная от всех граней. Эта точка лежит в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром

Так,

Несложно заметить:

Чтобы найти длину ребра основания, спроецируем чертеж на плоскость. Тогда призма проецируется в треугольник, в котором задан радиус вписанной окружности. По условию треугольник равносторонний. Рассмотрим треугольникВ нем катет, острый угол равенВ таком случае, второй катет

Ответ: боковое ребро призмы равно; ребро основания равно

Задача 4

Все ребра правильной треугольной призмы равны 1. Найти радиус описанной сферы (рис. 8).

Решение

Центрописанной сферы лежит в плоскости симметрии ребери. Точка– центр треугольникаТочка– центр треугольникаТочка– середина отрезка, она равноудалена от всех вершин призмы. Этот факт следует из равенства прямоугольных треугольников, эти треугольники равны по двум катетам.

Так, из прямоугольного треугольникапо теореме Пифагора:

Пояснение:;как радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.

Ответ: .

Вывод

Итак, мы рассмотрели задачи на комбинацию призмы и сферы, вписанной и описанной. В следующем уроке будут рассмотрены задачи на комбинацию круглых тел.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)

2. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)

3. Интернет-сайт terver.ru (Источник)

4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Можно ли вписать/описать сферу около шестиугольной призмы? В каких случаях это возможно?

2. Найти радиус описанной сферы для прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5, 11, 7.

3. Сфера описана около четырехугольной призмыДвугранные углы при ребрахисоответственно равныи. Найти величины двугранных углов при ребрахи 

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003. – М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. / А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.