12. Комбинация шара и пирамиды

Пирамида, вписанная в шар

Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар (рис. 1).

Несложно заметить, что вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости, значит, они должны принадлежать одной окружности описанного шара. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы вписать пирамиду в шар, является то, что многоугольник основания является вписанным (рис. 2).

Докажем, что это является также и достаточным условием.

Доказательство

Заметим, что если основание пирамиды можно вписать в окружность, то ГМТ равноудаленных от вершин основания – перпендикуляр к плоскости основания, проведенный через центр описанной окружности (рис. 1). Осталось найти на этой прямой точку, которая равноудалена от вершин основания и от вершины пирамиды. Для этого рассмотрим любую вершину  основания и вершину  пирамиды. ГМТ точек, равноудаленных от них, – плоскость, проходящая через середину  перпендикулярно ему. Но эта плоскость не может быть параллельна перпендикуляру к плоскости основания – в противном случае, точка  лежала бы в основании (рис. 2). Значит, условие вписанности основания является необходимым и достаточным.

Любая треугольная пирамида, а также любая правильная пирамида могут быть вписаны в шар.

Задача № 1

Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 3).

Решение

Рассмотрим пирамиду , все ребра которой равны 2. Пусть  – центр основания,  – центр шара. Тогда очевидно, что  лежит на , причем . И пусть  – середина .

Рассмотрим плоскость  (рис. 4). По теореме Пифагора из треугольника  высота  равна , а тогда . Далее найдем  по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике :

.

Пусть . Тогда ; .

Решим уравнение:

;

;

;

.

Осталось заметить, что радиус шара равен , то есть:

.

Ответ: .

Шар, вписанный в пирамиду

Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды (рис. 5).

В любую треугольную (рис. 6) и любую правильную пирамиду можно вписать шар, причем его центр будет лежать на высоте пирамиды, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах (рис. 7).

Задача № 2

Условие: найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду , сторона основания которой равна 10, а боковое ребро – 13 (рис. 8).

Решение

Пусть  – центр шара,  – центр основания,  – середина ,  – середина . В силу сформулированного утверждения  лежит на . Рассмотрим треугольник . По условию расстояния от точки  до ,  и  должны быть равными – это и есть радиусы шара. Таким образом,  – просто центр вписанной окружности в треугольник , радиус этой окружности и надо найти (рис. 9).

Очевидно, ,  из треугольника  равно 12 (в силу теоремы Пифагора).

Тогда .

Значит ; ; .

Ответ: .

Заключение

На уроке мы разобрали комбинации шара и пирамиды, а также решили задачи на нахождение радиусов вписанного и описанного шара.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

2. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

3. Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия 11 класс.

Домашнее задание

1. В правильный тетраэдр с ребром 6 вписана сфера. Найдите радиус сферы.

2. В правильный тетраэдр вписана сфера радиуса 5. Найдите радиус сечения этой сферы плоскостью, перпендикулярной высоте тетраэдра и делящей ее в отношении 2:1, считая от вершины тетраэдра.

3. Около правильного тетраэдра описана сфера радиуса 5. Найдите длину ребра тетраэдра.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).

2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).

3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).