11. Комбинация шара с призмой и цилиндром

Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

Говорят, что цилиндр вписан в шар (сферу), если каждое его основание лежит на сфере данного шара (рис. 1). Любой цилиндр может быть вписан в шар.

Так как основания цилиндра имеют равный радиус, то расстояние от центра до их плоскостей одинаково, а значит, в силу их параллельности, центр находится в середине высоты цилиндра (рис. 2).

Задача №1

Условие: цилиндр, радиус основания которого равен 6 см, вписан в шар радиуса 10 см. Найти высоту цилиндра (рис. 3).

Решение

Пусть центр шара – , проекция его на основание цилиндра – , точка на границе этого основания – . Тогда из треугольника ,  (радиус шара),  (радиус цилиндра), значит,  («египетский» треугольник). Но это половина высоты, а значит, искомая высота – 16 см.

Ответ: 16 см.

Шар, вписанный в цилиндр

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности (рис. 4).

1. Так как шар касается боковой поверхности, то в соответствующем сечении должен получиться круг, радиус которого равен радиусу шара. А значит, радиус цилиндра равен радиусу шара (рис. 5).

2. Высота должна быть равна диаметру шара (рис. 6).

Таким образом, совсем не любой цилиндр может быть описан около шара, для этого нужно, чтобы его высота была вдвое больше радиуса основания.

Задача №2

Условие: шар вписан в цилиндр. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади поверхности шара?

Решение

Радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра – диаметру шара.

Площадь поверхности шара равна .

Площадь полной поверхности цилиндра есть .

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: 1,5.

Призма, вписанная в шар

Призма называется вписанной в шар (сферу), если все ее вершины лежат на поверхности шара (рис. 7). В дальнейшем рассматриваются только прямые призмы.

Аналогично цилиндру, центр описанного шара будет находиться в центре высоты призмы.

Прямую призму можно вписать в шар тогда и только тогда, когда ее основание можно вписать в окружность. Как следствие, любую треугольную призму (рис. 8), а также любую правильную призму (рис. 9) можно вписать в шар.

Четырехугольную призму можно вписать в шар, если ее основание является вписанным четырехугольником, т. е. сумма его противоположных углов равна 180 градусов (рис. 10).

Шар, вписанный в призму

Говорят, что шар вписан в призму, если он касается всех ее граней (рис. 11).

Аналогично цилиндру высота призмы также равна диаметру шара.

Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Итак, вписать шар в призму можно только тогда, когда ее высота вдвое больше радиуса окружности, вписанной в основание.

Задача №3

Условие: дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 6. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов (рис. 12).

Решение

Начнем со вписанного шара. Его радиус совпадает с радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Этот радиус равен, то есть . Но тогда высота призмы равна .

Далее, центр описанного шара находится в середине высоты, то есть расстояние от него до плоскости основания равно . Пусть центр этого шара , центр основания – . Тогда  (как радиус описанной окружности, например). И значит,  по теореме Пифагора.

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: .

Заключение

Задача.

Условие: правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 13. Высота призмы равна 24. Найти площадь полной поверхности призмы (рис. 1).

Решение

Разумеется, достаточно найти сторону основания. Пусть  – центр шара,  – центр основания  призмы (рис. 2). Тогда , , а значит,  по теореме Пифагора.

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит, сторона призмы – 5.

Найдем площадь ее боковой поверхности – . Основание призмы состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной 5 (и таких оснований 2, итого, 12 треугольников). Значит, суммарная площадь оснований равна .

Ответ: .

На уроке мы разобрали комбинации шара, призмы и цилиндра, а также решили задачи по этим темам.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

Домашнее задание

1. Цилиндр, радиус основания которого равен 12 см, вписан в шар радиуса 20 см. Найти высоту цилиндра.

2. Дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 12. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов.

3. Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 10. Высота призмы равна 16. Найти площадь полной поверхности призмы.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).

2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).

3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).