13. Комбинация шара с конусом и усечённым конусом

Введение

Как всегда, речь пойдёт исключительно о прямых круговых конусах и усечённых конусах (см. рис. 1).

Шар, описанный около конуса

Шар называют описанным около конуса, если вершина конуса и окружность основания конуса принадлежат поверхности шара. Конус в этом случае называют вписанным в шар (см. рис. 2). Аналогично с усечённым: его можно вписать в шар, если окружности обоих его оснований лежат на поверхности шара.

Всегда ли конус можно вписать в шар? Оказывается, что всегда.

Доказательство. Пусть  – вершина конуса,  – диаметр его основания,  – высота конуса ().

Тогда рассмотрим осевое сечение , около которого можно описать окружность (свойство треугольника) (см. рис. 4).

Отметим точку  – центр описанной окружности около треугольника . Она лежит на перпендикуляре , но не обязательно строго на отрезке  – она может лежать и вне его, вне конуса, например под точкой  (см. рис. 5).

Но это неважно. Важно доказать, что если точка  равноудалена от точек ,  и  (см. рис. 6), то она является центром описанного шара.

Для этого необходимо доказать, что точка  и все точки основания лежат на поверхности шара. Рассмотрим шар с центром в точке  и радиусом  (см. рис. 7).

По построению , значит, точки  и  также лежат на поверхности шара (они удалены на радиус ). С другой стороны, если рассмотреть любую точку , которая лежит на основании конуса, то  (по двум катетам:  – общий катет,  – как радиусы основания) (см. рис. 8).

Тогда гипотенузы тоже равны , значит, , откуда следует, что точка  также лежит на поверхности шара.

Либо проще.  – перпендикуляр, ось конуса. Любая точка на оси равноудалена от точек окружности основания. Тогда, раз точка  равноудалена от точек ,  и , значит, она и является центром искомого шара (см. рис. 9). Что и требовалось доказать.

Доказательство

Докажем, что конус всегда можно вписать в шар. По сути, нужно найти точку, которая равноудалена от вершины конуса и всех вершин окружности его основания. Заметим, что ГМТ (ГМТ - геометрическое место точек) равноудалённых от окружности основания, – это перпендикуляр, проведённый к плоскости основания из центра этой окружности (см. рис. 1).

С другой стороны, ГМТ равноудалённых от точек  и  – это плоскость, проходящая через середину отрезка , перпендикулярная ему. Очевидно, эта плоскость не параллельна высоте конуса, а значит, пересекает её (см. рис. 2).

Точка пересечения и будет искомым центром шара, т. к. она равноудалена от точек основания конуса и от его вершины (см. рис. 3). Отметим, что эта точка может быть как внутри конуса, так и вне его.

Пример 1

Дан конус, образующая , высота . Найти радиус описанного шара  (см. рис. 10).

Решение. Как известно, центр шара совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Соответственно, радиус описанного шара равен радиусу этой окружности. Тогда найдем радиус окружности, описанной около треугольника . Рассмотрим осевое сечение  (см. рис. 11).

Видно, что  и  – египетские, значит,  (см. рис. 12).

По следствию из теоремы синусов  (см. рис. 13).

Ответ: .

Можно было найти радиус и по формуле .

Шар, описанный около усечённого конуса

Шар называют описанным около усечённого конуса, если оба основания усечённого конуса лежат на поверхности шара (см. рис. 14).

Всегда ли усечённый конус можно вписать в шар? Рассмотрим осевое сечение, на этот раз им будет трапеция (см. рис. 15).

Нужно, чтобы около осевого сечения можно было описать окружность (см. рис. 16).

Это можно сделать только в том случае, когда трапеция равнобедренная. С другой стороны, образующие всегда равны, значит, трапеция будет равнобедренной. То есть около любого усечённого конуса можно описать шар, и центр этого шара будет совпадать с центром окружности, описанной около осевого сечения. Аналогично с радиусом – радиус шара мы будем искать как радиус описанной около трапеции окружности (см. рис. 17).

Рассмотрим теорию на примере.

Пример 2

Дан усечённый конус, радиусы оснований , , а высота . Найти радиус шара, описанного около данного усечённого конуса  (см. рис. 18).

Решение. Необходимо найти радиус окружности, описанной около трапеции . Рассмотрим осевое сечение – равнобедренную трапецию  ( как образующие). Её основания ,  (диаметры оснований усечённого конуса), высота  (см. рис. 19).

Найдем радиус описанной окружности двумя способами.

Способ 1. Пусть  – центр искомой описанной окружности. Опустим перпендикуляр  – он разделит отрезки и  пополам. Пусть ,  и  (как радиусы описанной окружности) (см. рис. 20).

Рассмотрим  и . По теореме Пифагора:

Раскрывая скобки и вычитая из верхнего нижнее, находим .

;

;

.

Получили, что длина отрезка отрицательная. На самом деле, противоречия нет, просто мы неверно отметили точку . То, что  отрицателен, означает, что на самом деле точка  лежит ниже . В этом случае , а не  (см. рис. 21).

Тогда получаем, что ; .

Способ 2. Можно найти радиус описанной окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого являются также вершинами трапеции, например  (см. рис. 22).

Найдем радиус по формуле .

Проведем  и  – высоты трапеции.

.

Далее, .

Тогда ,  (см. рис. 23).

Значит .

Ответ: .

Шар, вписанный в конус (усечённый конус)

Шар вписан в конус, если поверхность шара касается основания конуса и его боковой поверхности (см. рис. 24).

Что значит «шар касается основания и боковой поверхности»? Касание шара с основанием – это касание шара плоскости основания (см. рис. 25).

Под фразой «шар касается боковой поверхности конуса» подразумевается, что шар «не выходит» за границы конуса, однако соприкасается с ним, то есть у них есть общая окружность на боковой поверхности (см. рис. 26).

Радиус такого шара ищется через радиус окружности, вписанной в осевое сечение (см. рис. 27).

Возникает вопрос: всегда ли шар можно вписать в конус? Всегда, т. к. в треугольник всегда можно вписать окружность.

Шар вписан в усечённый конус, если он касается оснований усечённого конуса и его боковой поверхности (см. рис. 28).

Радиус такого шара можно найти через радиус окружности, вписанной в осевое сечение – трапецию (см. рис. 29).

Шар вписать в усечённый конус можно не всегда, ведь в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон (см. рис. 30).

Иначе говоря, сумма радиусов усечённого конуса должна быть равна образующей (см. рис. 31) – это необходимое и достаточное условие для существования вписанного в усечённый конус шара.

Пример 3

Дан конус, , . Найти радиус вписанного в него шара  (см. рис. 32).

Решение. Достаточно найти радиус окружности, вписанной в треугольник – осевое сечение. Рассмотрим осевое сечение .  (образующие конуса), , , тогда . По теореме Пифагора из  (прямоугольный) . Получаем , тогда  (см. рис. 33).

Тогда по формуле .

Ответ: .

Задача

Дан усечённый конус, в который вписан шар. Основания конуса  и . Найти радиус вписанного шара  (см. рис. 34).

Решение. Рассмотрим осевое сечение – это равнобедренная трапеция. Так как в нее можно вписать окружность, то образующая равна сумме радиусов, то есть 15 (см. рис. 35).

Проведём две высоты. Получаем, что отрезки, на которые они разделили основание, равны 9-6-9 (см. рис. 36).

Значит, по теореме Пифагора  (см. рис. 37).

Тогда .

Ответ: .

Заключение

Сегодня речь шла о таких конструкциях, как шар – конус и шар – усечённый конус. Мы выяснили, когда шар можно описать около конуса и усечённого конуса и как искать радиус такого шара (радиус описанного шара – это радиус окружности, описанной около осевого сечения конуса (усечённого конуса)). Кроме того, мы выяснили, когда шар можно вписать в конус (усечённый конус) и как искать радиус такого шара (радиус вписанного шара – это радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса (усечённого конуса)).

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. 18-е изд. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А. В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков.

Домашнее задание

Равносторонний конус (осевое сечение – равносторонний треугольник) вписан в шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 6 см. В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите объем шара, если объем конуса равен 12. Около сферы радиуса описан конус, высота которого равна . Найдите площадь полной поверхности конуса.