13. Координаты. Решение более сложных задач

Основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении

Повторим основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении.

Точка A(рис. 1) задаётся тремя координатами: абсцисса –; ордината –; аппликата –

Радиус – векторравен:

 , где– единичные векторы

Кратко данный вектор можно записать таким образом.– проекция векторана направление,– проекцияна направление,– проекцияна направление.

Векторявляется свободным, его можно откладывать от любой удобной точки, при этом его координаты не поменяются.

Взаимное расположение вектораи вектора(рис. 2) характеризуется их скалярным произведением.

Скалярное произведение векторов – это произведение их модулей на косинус угла между ними.

Длина вектора равна:

Косинус угла между векторами:

Задача 1. Нахождение уравнения плоскости

Найти уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

Дано:;(рис. 3)

Найти: плоскость α

Решение:

Возьмём произвольную точкув плоскости, так как, по определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости.

Скалярное произведение векторов, так как.

Определим координаты вектораДля этого из координат точки M вычтем координаты точки.

Запишем скалярное произведение векторови:

Это и есть уравнение плоскости, которая проходит через точкуперпендикулярно вектору.

В этом уравнении раскроем скобки и обозначим известные данные за d:

Ответ:, где

Задача 2. Нахождение уравнения плоскости

Дано:;(рис. 4)

Найти: плоскость 

Решение:

1. Найдём координаты вектора, который перпендикулярен плоскости

2. В предыдущей задаче мы вывели уравнение плоскости, которая проходит через заданную точкуперпендикулярно вектору

Подставим в это уравнение известные значения:

Ответ:

Задача 3. Определение расстояния от точки до плоскости

Найти расстояние от заданной точки до заданной плоскости.

Дано: – плоскость α; т.(рис. 5)

Найти:

Решение:

Расстояние от точки до плоскости – перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть

1. Нормируем уравнение плоскости, то есть обе части уравнения плоскости делим на длину нормального вектора:

2. В нормированное уравнение плоскости подставляем заданные координаты точкии получим формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости:

Ответ:

Задача 4а. Вычисление угла между двумя прямыми в кубе

Дано:– куб;; точки E и F – середины рёбери AD соответственно (рис. 6).

Найти: а) Угол между прямымии EF 

.

Решим данную задачу координатным методом.

1. Вводим оси координат

2. Найдём координаты интересующих нас точек. Так точка B – начало координат, а данный куб единичный, то,,,.

3. Зная координаты точек, найдём координаты интересующих нас векторов:

, 

4. Найдём косинус угла между векторамии:

, следовательно,

а) Ответ:

Задача 4б. Нахождение уравнения плоскости в кубе

Найти: б) уравнение плоскости DEF

Решение:

Уравнение плоскости имеет такой вид:

Нам нужно найти a, b, c, d. Мы знаем координаты точек,,, которые лежат в плоскости DEF. Подставляем координаты точек в уравнение и получаем систему из трёх уравнений относительно четырёх неизвестных.

Нам достаточно найти любое конкретное решение данной системы, поэтому выберем число. Плоскость DEF не проходит через начало координат, поэтому d не может быть равным 0.

Таким образом, если мы приняли, то одно из решений системы будет таково:

Подставляем эти данные в уравнение плоскости:

б) Ответ: уравнение плоскости DEF 

Задача 4в. Определение расстояния от точки до плоскости в кубе

Найти: в)– расстояние от точкидо плоскости

Решение:

Мы знаем уравнение плоскости DEF; и координаты точки.

1. Нормируем уравнение плоскости DEF. Нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты, то есть. Длина этого вектора равна:

Обе части уравненияделим на:

2. В нормированное уравнение плоскости подставляем координаты точкии находим расстояние от точки до плоскости:

в) Ответ:

Задачу 4в можно решить геометрическим способом. Для этого из точкинужно провести перпендикуляр на прямую DE и доказать, что это перпендикуляр ко всей плоскости DEF, далее в плоскостинужно найти искомое расстояние, решив соответствующую планиметрическую задачу.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении и решили несколько задач координатным методом.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Clck.ru (Источник).

2. Clck.ru (Источник).

3. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали

   Найти угол между плоскостью α и прямой, проходящей через начало координат и точку M (-2, 4, - 3). Вычислить расстояние от точки M до плоскости α:

2. Найти величины углов между диагоналями единичного куба и диагоналями его граней.