12. Координаты. Решение задач

Начальные сведения о координатах точки

Рассмотрим начальные сведения о координатах точки.

На рис. 1 изображена система координат. По оси x проходит единичный вектор, по оси y -, по оси z -. Точка A задаётся тремя координатамиРадиус-вектор точки A (или) задаётся теми же координатами:

Для того чтобы получить данный вектор, нужно опустить из точки Aперпендикулярна плоскость xy, из точкиопустить перпендикуляры на оси x и y, из точки A опустить перпендикуляр на ось z. Получили точки на осях

Следовательно, векторравен:

На этих трёх векторах () можно построить параллелепипед, в котором OA – это диагональ.

– проекция векторана направление;– проекция векторана направление;– проекция векторана направление:

Для примера рассмотрим соотношение. Oy перпендикулярна, так какперпендикуляр к плоскости xy; Oy перпендикулярна(по построению), следовательно, Oy перпендикуляр к плоскости, а значит, и к любой прямой в этой плоскости, в том числе и к AC. Всё это означает, что– проекция векторана направление:

Длина векторанаходится по формуле.

В этой формуле используется свойство прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длина, ширина, высота).

Общий вид и решение задач, связанных с координатами одной точки

Формулы для нахождения расстояния от точки A до осей координат:

Векторимеет три направляющих угла: угол α с осью x, угол β с осью y, угол γ с осью z:

Направляющие косинусы, то есть косинусы этих углов равны:

Свойство этих косинусов: сумма квадратов направляющих косинусов равна единицы –

Общий вид и решение задач, связанных с координатами двух точек

Рассмотрим формулы для решения стандартных задач, в которых даны координаты двух точек.

На рис. 2 изображена система координат и две точки

Координаты точки M, которая является серединой отрезка, находятся по формуле:

Векторнаходится по формуле:. Длина отрезка AB находится по формуле:.

Скалярное произведение векторов

Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и выразим его через координаты этих векторов.

Даны два вектора,. Угол между векторами равен(рис. 3). Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Выразим это произведение через координаты векторов:

Косинус угла между векторами равен:

Проекция векторана направлениеравна:.

Задача 1. Доказательство перпендикулярности прямых векторным способом

Дано: ABCD – тетраэдр, (рис. 4).

Доказать:

Доказательство:

Доказательство проведём векторным способом.

1. Вводим тройку некомпланарных векторов:,,

2. Вектора некомпланарные, поэтому через них можно выразить векторы, которые расположены по рёбрам тетраэдра:,,,,,.

3. По условию задачи,

Следовательно,

4. Нам нужно доказать, что, то есть

Следовательно,Что и требовалось доказать.

Задача 2. Вычисление угла между прямыми

Дано:

Найти:- угол между прямымии(рис. 5).

Решение:

1. Найдём координаты вектораи:

2. Найдём косинус угла между векторамии:

Косинус угла больше 0, следовательно, угол между прямыми равен

Ответ:

Задача 3. Нахождение параметра, при котором два вектора перпендикулярны между собой

Дано:;.

Найти:, при которых

Решение:

Векторы перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Ответ:

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели основные сведения о координатах и решили некоторые типовые задачи координатным методом.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Домашнее задание

1. Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 435, 442, 461.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Clck.ru (Источник).

2. Интернет-портал Ege-ok.ru (Источник).

3. Интернет-портал Mathprofi.ru (Источник).