06. Координатный метод. Решение задач. Профильный уровень

Расстояние между точками. Середина отрезка

Всем привет!

Сегодня мы будем решать задачи координатным методом.

Почему мы так много времени ему уделяем? Часто задачу можно решить и классическим геометрическим методом, и методом координат.

Сложность первого подхода состоит в том, что не удаётся написать алгоритм решения.

Представьте, что вам нужно взобраться на гору. Можно попытаться сделать это напрямик, по короткому пути, но это довольно сложно, не факт, что удастся найти подходящую дорогу. А можно идти по длинной, но ровной дороге. Это будет дольше, однако пройти сможет практически любой, даже без специальной подготовки (см. рис. 1).

Вспомните решение квадратных уравнений. Если использовать дискриминант, то вычисления могут быть не самые простые, но при этом, чтобы найти корни, нужно в формулу подставить коэффициенты из уравнения.

Если же использовать, например, теорему Виета, то нужно подбирать корни.

Это может упростить решение, сократить время, но далеко не всегда так получается.

Координатный метод является аналитическим и позволяет работать по алгоритму.

Кроме того, с помощью координатного метода к геометрической задаче мы можем применить алгебраические методы. Например, геометрическую задачу свести к решению уравнения или системы уравнений.

Задача 1.

Найти расстояние от вершины  единичного куба до середины грани  (см. рис. 2).

Решение:

Введём систему координат с началом в точке  и единичными координатными векторами ,  .

Точка  имеет координаты , точка  (см. рис. 3).

Ввели систему координат так, что точка  ― начало координат, векторы , ,  совпадают с осями ,, соответственно.

Найдём расстояние между ними по формуле расстояния между точками:

Ответ: .

Задача 2.

Отрезок  длины  перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника  с катетами  и .

Найти расстояние от точки  до середины .

Решение:

Поскольку все три вектора  взаимно перпендикулярны, то их и примем за координатные оси (см. рис. 4).

Запишем координаты точек: ,,.

Найдём координаты точки  ― середины , для этого складываем координаты концов отрезка и делим пополам: ,,.

Получаем, точка имеет координаты:

;

.

Найдём расстояние между точками  и :

.

Ответ: .

Угол между прямыми. Уравнение плоскости

Рассмотрим решение задачи на нахождение угла между прямыми с помощью координатного метода.

Задача 3.

В кубе  и  ― середины рёбер  и . Найти угол между прямой  и диагональю .

Решение:

Введём систему координат с началом в точке  и векторами ,, в качестве единичных координатных векторов (см. рис. 5).

Найдём координаты нужных нам точек: ,,,.

Теперь найдём координаты векторов  и  : ,.

Найдём косинус угла между прямыми, содержащими данные векторы. Для этого нужно модуль скалярного произведения векторов поделить на произведение их длины:

Соответственно, угол между прямыми ― арккосинус этой величины.

Ответ: .

Итак, если мы знаем направляющие векторы двух прямых, то по этой формуле можем найти угол между этими прямыми.

Но с помощью этой формулы мы также можем находить и угол между плоскостями, и угол между прямой и плоскостью.

Но прежде чем переходить к таким задачам, рассмотрим метод составления уравнения плоскости.

Задача 4.

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,.

Решение:

Общий вид уравнения плоскости имеет вид: .

Все три точки принадлежат плоскости, то есть их координаты удовлетворяют этому уравнению.

Получаем систему трёх уравнений:

Возникает вопрос, как мы в системе с тремя уравнениями найдём 4 неизвестных.

Вернёмся к общему виду уравнения: .

Понятно, что если умножить обе части уравнения на одно и то же число, неравное нулю, то полученное уравнение будет описывать ту же самую плоскость.

Значит, с помощью такого множителя мы можем придать любому ненулевому коэффициенту из уравнения любое удобное нам значение.

Решим нашу систему методом Гаусса. Он заключается в том, что, умножая уравнения на различные множители и складывая друг с другом, мы оставим каждую переменную только в одном уравнении.

Поскольку последнее уравнение выглядит проще всего, переместим его наверх и перенесём в каждом уравнении переменную  в правую часть:

Избавимся от первой переменной во втором и третьем уравнениях. Для этого сложим первое уравнение со вторым:

Потом, умножив первое на –2, сложим с третьим:

Во втором и третьем уравнении пропадут переменные a:

Аналогично избавимся от переменной  в третьем уравнении. Для этого умножим второе уравнение на  и сложим с третьим:

Сократим полученное третье уравнение на :

Осталось избавиться от переменной  во втором и первом уравнениях.

Для этого умножим первое уравнение на  и сложим с третьим.

Умножим второе на 5, третье на 3 и сложим:

Сократим первое уравнение на :

Мы получили очень удобный диагональный вид системы уравнений.

И видим, что переменная . В противном случае все остальные переменные тоже оказались бы равными нулю и мы не получили бы уравнение плоскости.

Значит, переменной d мы можем присвоить любое значение.

Удобно, если  (тогда остальные переменные примут целые значения).

Тогда:

Теперь мы можем записать уравнение плоскости .

Ответ: .

Чтобы убедиться, что все расчёты были верными, нужно подставить координаты всех трёх точек в полученное уравнение. Сделайте это самостоятельно.

Если вам не очень понятно, почему в качестве  можно подставить произвольное значение, попробуйте поступить следующим образом. В последней системе выразите переменные , и  через :

После этого подставьте их в общий вид уравнения плоскости:

И сократите на  (ведь мы убедились, что  не равно 0). Убедитесь, что вы получите точно такое же уравнение: .

Угол между плоскостями

Теперь рассмотрим задачи на нахождение угла между плоскостями.

Задача 5.

В единичном кубе  точки  и  ― середины рёбер  и . Найти угол между плоскостями  и .

Решение:

Введём систему координат (см. рис. 6).

Найдём координаты необходимых точек: ,,,,.

Составим уравнение плоскости .

Подставим в общий вид уравнения плоскости  координаты точек , и . Получаем систему трёх уравнений:

Уже из первого уравнения получаем, что .

Система уравнений принимает вид:

Или:

Примем . Тогда ,,,.

Уравнение плоскости имеет следующий вид: .

Аналогично находим уравнение плоскости . Проведите эту работу самостоятельно.

Получаем уравнение плоскости: .

Итак, у нас есть уравнения двух плоскостей  и .

Найдём косинус угла между ними.

Общая формула имеет вот такой вид:

Подставим значения коэффициентов:

Следовательно, .

Ответ: .

Следующее ответвление нужно посмотреть всем ученикам профильного уровня, а остальным ― по желанию.

Задача 1

Решим следующую задачу.

Задача

Дана правильная четырёхугольная пирамида . Все её рёбра равны единице. Найти угол между плоскостью  и плоскостью, проходящей через точку  перпендикулярно .

Решение:

Введём систему координат с началом в точке  (см. рис. 7).

Найдём координаты интересующих нас точек: .

Координаты  и  точки  равны , найдём координату  по теореме Пифагора, рассмотрев треугольник :

;

.

Мы нашли координаты точки .

Найдём уравнение плоскости , подставив координаты трёх точек.

Сделайте это самостоятельно. У вас должно получиться: .

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно .

То есть вектор  является нормальным вектором этой плоскости. Найдём его координаты: .

Координаты нормального вектора ― это коэффициенты в уравнении плоскости. А коэффициент , так как плоскость проходит через начало координат.

Имеем уравнение плоскости: .

Найдём косинус угла между плоскостями, подставим коэффициенты в формулу. Получаем:

Ответ: .

Угол между прямой и плоскостью

Теперь рассмотрим задачу на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Задача 6.

Найти угол между прямой  и плоскостью  в единичном кубе.

Решение:

Зададим систему координат с точкой  в её начале (см. рис. 8).

Выпишем координаты интересующих нас точек: .

Вектор  имеет координаты .

Найдём уравнение плоскости .

Для этого в общий вид уравнения  подставим координаты всех трёх точек, ей принадлежащих.

Пусть . Тогда  и .

Мы получили уравнение плоскости: .

Нормальный вектор имеет координаты .

Теперь мы можем найти косинус угла между прямыми, заданными векторами  и , то есть угла между прямой и нормалью к плоскости. Искомый угол дополняет этот до 90°. То есть косинус найденного угла будет равен синусу искомого (см. рис. 9).

Таким образом, наша формула даёт нам не косинус, а синус угла между прямой и плоскостью:

Ответ: .

Ученики профильного уровня, пожалуйста, посмотрите следующее ответвление, а остальные ― по желанию.

Задача 2

Решим следующую задачу.

Задача

Найти угол между прямой  и плоскостью  в правильной треугольной призме, все рёбра которой равны 1 (см. рис. 10).

Решение:

Введём систему координат. Точку  расположим в начале координат. Вектор  направим вдоль оси , вектор  ― вдоль оси . К сожалению,  невозможно направить вдоль координатной оси, это доставит некоторые трудности для вычисления координат точек (см. рис. 11).

Запишем координаты точек: .

У точки  понятна координата . Найдём координаты  и . Они такие же, как у точки . Сделаем отдельный плоский чертёж (см. рис. 12).

Координата . Координата  ― это длина высоты правильного треугольника со стороной единица. Она равна .

Таким образом, мы нашли координаты точки .

Найдём уравнение плоскости.

Она проходит через начало координат, значит, имеет вид: .

Мы уже использовали в этих рассуждениях точку , подставим в уравнение координаты двух оставшихся:

Выберем для  значение ,  . Тогда  .

Получили уравнение плоскости: .

Отсутствие в уравнении первого члена объясняется тем, что плоскость проходит через ось .

Вектор нормали имеет координаты: .

Вектор .

Найдём синус угла между  и плоскостью:

Ответ: .

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим теперь задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Задача 7.

В единичном кубе найдите расстояние от точки  до плоскости  (см. рис. 13).

Принцип, наверное, уже понятен. Нужно найти уравнение плоскости и использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

Решение:

Введём систему координат, где точка  ― начало отсчёта. Векторы ,, примем за единичные векторы на осях , и  (см. рис. 14).

Нам известны координаты трёх точек, принадлежащих плоскости. С их помощью мы можем найти уравнение плоскости. Но легче всего это сделать, используя нормальный вектор к плоскости.

Очевидно, вектор  перпендикулярен к плоскости, то есть является нормальным для неё.

Тогда уравнение плоскости имеет вид: .

Чтобы найти свободный коэффициент , подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например : .

Таким образом, .

Мы получили уравнение плоскости: .

Найдём расстояние от точки  до этой плоскости. В формулу расстояния от точки до плоскости подставляем эти координаты. Вспомним, как выглядит формула расстояния от точки до плоскости:

Подставим в неё соответствующие коэффициенты:

Ответ: .

Ну что, друзья, на этом мы урок заканчиваем, до свидания.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Взаимное расположение прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость.

3. Вычисление расстояний в пространстве.

Проверь себя

1. Даны точки ;;. При каких значениях  треугольник  является равнобедренным?

2. В тетраэдре , , . Вычислите угол между прямой, проходящей через середины рёбер  и  и плоскостью грани .

3. Дан прямоугольный параллелепипед , в котором ,, и точка  делит сторону  в отношении , считая от точки . Найдите угол между плоскостями  и .

4. В правильной шестиугольной призме  все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки  до плоскости .

Список использованных источников:

Рис. 1–14. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.