15. Круглые тела. Сфера

Определение сферы и основные формулы

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Такая точка называется центром сферы, расстояние от данной точки до всех точек – радиусом сферы.

Запишем уравнение сферы, для этого построим оси координат (рис. 1). Точка– центр сферы, R – радиус сферы, то есть расстояние от точкидо произвольной точки, лежащей на сфере.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Шар описывается следующим неравенством:

Площадь сферы находится по формуле:

Объём шара:

Касательная и секущая плоскость, их свойства

Рассмотрим касательную плоскость к сфере. Плоскость α называется касательной к сфере, если она со сферой имеет только одну общую точку (точку касания) (рис. 2).

Плоскость является касательной к сфере тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к плоскости:.

Рассмотрим секущую плоскость. Построим сферу и оси координат (рис. 3). Плоскость, перпендикулярная оси z и проходящая через точкурассекает плоскость по окружности. Докажем это.

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения сферы (центр сферы – начало координат) и перпендикулярной оси z плоскости:

Подставим z в первое уравнение:Получили формулу окружности.

Секущая и касательная прямая и их свойства

Дана сфера и точка A вне сферы (рис. 4). AT – касательная прямая к плоскости, AB – секущая прямая (точки C и B – общие для сферы и для прямой AB), AC – внешняя часть секущей AB;– секущая прямая,её внешняя часть.

Запишем теорему для секущих и касательных прямых к сфере: произведение секущей на внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной –.

Задача 1. Нахождение касательной к сфере

Дано:(рис. 4).

Найти:

Решение:

Найдём внешнюю часть касательной.

По теореме о секущих и касательных прямых:

Ответ:

Задача 2. Определение уравнения сферы и нахождение радиуса окружности в сечении этой сферы

2.1. Напишите уравнение сферы с центром в точкерадиуса

Решение:

Уравнение сферы в общем виде:, где (a;b;c) – координаты центра сферы.

Следовательно, уравнение данной нам сферы выглядит так:

.

Ответ:

2.2. Найдите радиус окружности в сечении данной сферы плоскостью (xy).

Решение:

Уравнение данной сферы , а уравнение плоскости (xy) – это.

Подставляем в первое уравнение значение z:

.

Получили уравнение окружности в сечении данной сферы, следовательно, радиус этой окружности равен 4.

Ответ: 4.

Задача 3. Нахождение радиуса сферы и координат центра сферы

Найдите координаты центра и радиус сферы

Решение:

Решение будет осуществляться с помощью выделения полного квадрата.

Получили уравнение сферы, из которого видим, что координаты центра сферы, а радиус сферы равен

Ответ:;

Задача 4. Нахождение расстояния от центра сферы до плоскости

Дано: точки A, B, C лежат на сфере радиуса 13;.

Найти: расстояние от центра сферы до плоскости ABC.

Решение

На рис. 5 изображены данные нам элементы.– радиус сферы (O – центр сферы). Стороны получившегосянам известны. Мы получили пирамиду, у которой все рёбра известны, нужно найти расстояние от точки O до плоскости ABC.

OH – искомое расстояние, то есть высота пирамиды, найдём место расположения точки H. Мы получили три равных прямоугольных треугольника:(по катету OH и гипотенузе). Следовательно,, то есть точка H – центр описанной околоокружности.прямоугольный, так как.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, следовательно, точка H – середина AB и высота проектируется в эту точку.

Из прямоугольного, по теореме Пифагора, найдём OH:.

Ответ: 12.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели сферу, решили задачи на нахождение элементов этого круглого тела.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5.  Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Домашнее задание

1. Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 582, 580, 578.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Clck.ru (Источник).