14. Круглые тела. Цилиндр. Конус

Основные сведения о цилиндре

Цилиндр – тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Прямоугольник(рис. 1) будем вращать относительно прямой, каждая точка отрезкаопишет окружность радиуса r, таким образом мы получим цилиндр.

Прямоугольник задают два элемента, например сторонаи сторона. Так же и цилиндр задают два элемента– радиус цилиндра,– образующая цилиндра, равная высоте цилиндра ().

Если развернуть цилиндр, то получим прямоугольник (рис. 2), у которого одна сторона равна (длина окружности основания), а другая сторона равна(высота цилиндра).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

Площадь основания цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Объём цилиндра находим по формуле:

Задача 1. Нахождение высоты и радиуса основания цилиндра

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равенНайти: а) высоту цилиндра; б) радиус основания цилиндра.

Дано:см;(рис. 3)

Найти: а); б)

Решение:

В осевом сечении цилиндра лежит прямоугольник, в котором сторона– высота цилиндра; – диаметр основания цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. В нём заданы два элемента: гипотенузасм и, следовательно:

а)
см

б)

см

Ответ: а)см;  б)см

Основные сведения о конусе

Конус – тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Прямоугольный треугольник(рис. 4) вращаем около прямой BO (катета треугольника), получаем фигуру, которая называется конусом.

Треугольник задаётся двумя элементами, например катетом и гипотенузой, этих же элементов достаточно, чтобы задать конус.

Катет

– радиус основания конуса, катет

– высота конуса, гипотенуза

– образующая конуса. Между этими величинами связь по теореме Пифагора:

Если развернуть конус, то получим сектор (рис. 5) радиус сектора – это образующая l конуса, длина дуги сектора равна– это длина окружности основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади сектора:

В основании конуса лежит круг, следовательно, площадь основания конуса равна:

Объём конуса находим по формуле:

Задача 2. Нахождение площади осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Дано:;см (рис. 6)

Найти:

Решение:

Так как в осевом сечении всегда лежит равнобедренный треугольник, то– прямоугольный равнобедренный треугольник (). Следовательно,

Медианав прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла, равна половине гипотенузы:

см

Так как треугольник равнобедренный, то медиана равна высоте, следовательно:

см

Площадь треугольникаравна:

см²

Ответ:см²

Основные сведения о усечённом конусе

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых – конус, а другую часть называют усечённым конусом (рис. 7).

Верхнее основание усечённого конуса – окружность радиусом r, нижнее основание усечённого конуса – окружность радиусом– высота усечённого конуса.– образующая конуса.

Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция, где l – боковые стороны трапеции (рис. 8).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:

Объём усечённого конуса находим по формуле:

, где– площадь верхнего основания усечённого конуса,– площадь нижнего основания усечённого конуса.

Задача 3. Нахождение образующей усечённого конуса

Найти образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Дано:см;см;см (рис. 7).

Найти:l

Решение:

Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция (рис. 9), в которой нам нужно найти боковую сторону.

РассмотримОн получается путём опускания перпендикуляра из точкина Визвестен катет:

см

Катет:

см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу, которая будет равна образующей конуса.

см

Ответ:см

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели цилиндр и конус, решили задачи на нахождение элементов этих круглых тел.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

2. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра.

3. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найти радиус основания и высоту конуса.

4. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и составляет с плоскостью большего основания угол γ. Найти объем усеченного конуса.