05. Метод координат в пространстве. Базовый уровень

Уравнение плоскости

Всем привет!

Любая фигура или трёхмерное тело ― это множество точек. Если мы умеем описывать положение точки в пространстве, то, значит, можем описать и положение любого тела или его части в пространстве.

Чтобы задать положение объекта, в том числе точки, нужны какие-то ориентиры. В частности, нужен некий базовый объект, относительно которого мы будем описывать положение нашего объекта.

Мы уже знаем, что для описания положения точки на плоскости или в пространстве удобно применять координаты (см. рис. 2).

А поскольку координаты ― это числа, то к ним мы можем применить все методы, изученные в алгебре.

Таким образом, мы получаем два метода исследования свойств различных фигур:

1. Классический геометрический метод.

2. Аналитический метод, или метод координат.

С такой ситуацией мы уже сталкивались на плоскости.

Например, для нас прямая ― это и геометрический объект, и множество точек с координатами , которые удовлетворяют уравнению  (см. рис. 3).

Этот урок мы посвятим описанию фигур или тел в пространстве с использованием координатного метода. И начнём с такого базового понятия стереометрии, как плоскость.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и проведена плоскость (см. рис. 4).

Для большей общности мы не будем себе эту плоскость представлять параллельной какой-либо координатной оси или координатной плоскости. Такие простые случаи мы потом рассмотрим отдельно.

Задача состоит в следующем: сможем ли мы указать такое условие, которому должны подчиняться координаты всех точек плоскости? И наоборот, если координаты некоторой точки подчиняются данному условию, то это означает, что точка принадлежит плоскости.

Чтобы задать плоскость в геометрическом смысле, можно поступить по-разному:

1. Задать три точки плоскости, не лежащие на одной прямой (см. рис. 5).

2. Задать две параллельные прямые, лежащие в данной плоскости (см. рис. 6).

3. Задать две пересекающиеся прямые, лежащие в данной плоскости (см. рис. 7).

Ещё одним способом, который мы и выберем, будет задать точку на плоскости и вектор, перпендикулярный плоскости. Иными словами, существует единственная плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данному ненулевому вектору (см. рис. 8).

Выберем на плоскости  точку  и вектор  с началом в точке , перпендикулярный плоскости . Такой вектор мы будем называть нормальным к плоскости.

Теперь на плоскости выберем произвольную точку . Каким условиям должны соответствовать её координаты?

Для этого рассмотрим вектор . Он перпендикулярен вектору . И наоборот, если векторы перпендикулярны, то точка А принадлежит плоскости (см. рис. 9).

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно , то есть:

.

Найдём координаты вектора  и перемножим векторы в координатной форме. Вектор  имеет координаты .

Вектор имеет координаты .

Перемножим соответствующие координаты векторов и сложим, приравняем их к нулю.

Тогда данное уравнение и задаёт координаты всех точек плоскости, то есть является уравнением плоскости.

Раскроем скобки:

.

Обозначим выражение в скобках через  ― оно не зависит от координат точки , то есть является постоянной величиной:

.

Тогда уравнение плоскости примет вид:

.

Рассмотрим, как будет выглядеть уравнение плоскости, если она параллельна одной из координатных плоскостей, например  (см. рис. 10).

Плоскость пересекает ось  в некой точке . Следовательно, все точки плоскости имеют одинаковую аппликату . При этом две другие координаты могут принимать совершенно произвольные значения.

Тогда условие принадлежности плоскости выглядит очень просто:

.

Это и есть уравнение такой плоскости.

Сравните это уравнение с уравнением прямой на плоскости, которая параллельна оси  (см. рис. 11).

Рассмотрим теперь случай, когда плоскость параллельна только одной из координатных осей (в случае параллельности координатной плоскости она параллельна сразу двум координатным осям), например оси .

Тогда нормальный вектор перпендикулярен оси , а значит, имеет третью координату, равную нулю (ответьте почему) (см. рис. 12).

Тогда в общем уравнении плоскости коэффициент .

Уравнение принимает вид:

.

Кстати, подобное рассуждение можно было провести и в предыдущем случае. Там вектор нормали был параллелен оси , а значит, у него первые две координаты были равны нулю.

Итак, давайте теперь посмотрим на всё это ещё раз.

Уравнение плоскости имеет вид: , где ,, ― это координаты нормального вектора к ней: .

Например,  ― это уравнение плоскости.

Нормальный вектор имеет координаты:  (см. рис. 13).

Если один из коэффициентов равен нулю, то это означает, что плоскость параллельна координатной прямой, соответствующей выпавшему члену уравнения.

Например,  ― уравнение плоскости.

Нормальный вектор имеет координаты .

Плоскость параллельна оси (см. рис. 14).

Если два коэффициента равны нулю, то это означает, что плоскость параллельна координатной плоскости, соответствующей выпавшим членам уравнения.

Например:  ― уравнение плоскости. Нормальный вектор имеет координаты , то есть он параллелен оси  (см. рис. 15).

Плоскость параллельна  (см. рис. 16).

Если свободный коэффициент , это означает, что плоскость проходит через начало координат.

Например:  ― уравнение плоскости.

Координаты точки  удовлетворяют уравнению плоскости, а значит, она принадлежит плоскости.

Уравнение плоскости можно использовать для очень удобного метода вычисления угла между плоскостями.

Пусть две плоскости заданы своими уравнениями:

:;

:.

Тогда мы знаем их нормальные векторы и можем найти угол между ними, используя скалярное произведение.

Прямую, содержащую нормальный вектор, будем называть нормалью.

Давайте сравним угол между плоскостями и угол между нормалями к этим плоскостям.

Плоскости  и  пересекаются по прямой  (см. рис. 17).

Плоскость  перпендикулярна прямой  (см. рис. 18).

Тогда угол  между прямыми  и  ― это угол между плоскостями  и  (см. рис. 19).

Построим в точке  нормали  и  к обеим плоскостям (см. рис. 20).

Они получаются поворотом на прямой угол прямых  и  вокруг точки  в плоскости . Но поворот является движением и сохраняет углы. То есть угол между нормалями равен углу между плоскостями.

Но угол между такими прямыми мы искать умеем.

Нормальные векторы имеют координаты:

;

.

А косинус угла между прямыми, их содержащими, то есть между нормалями, вычисляется по формуле:

Пример

Найдём угол между плоскостями:

;

.

Решение:

Подставим коэффициенты из уравнений плоскостей в формулу косинуса угла между ними:

Ответ: .

Уравнение сферы

Рассмотрим теперь вопрос о том, каким условиям должны подчиняться координаты точек сферы, то есть выведем уравнение сферы.

Ситуация очень похожа на вывод уравнения окружности на плоскости.

Давайте вспомним.

Окружность ― это множество всех точек, удалённых на данное расстояние от данной (фиксированной) точки. Это расстояние называется радиусом, а фиксированная точка ― центром окружности (см. рис. 22).

Расстояние от произвольной точки  на плоскости до фиксированной точки  вычисляется по формуле:

.

Именно это расстояние и должно быть равно радиусу.

То есть

Именно так выглядит уравнение окружности радиуса  и с центром в точке .

Повторим почти дословно эти рассуждения в пространстве для сферы.

Сфера ― это множество точек пространства, удалённых от данной (фиксированной) точки на данное расстояние.

Это расстояние называется радиусом, а фиксированная точка ― центром сферы (см. рис. 23).

Расстояние от произвольной точки  в пространстве до фиксированной точки вычисляется по формуле:

.

Именно оно и должно быть равно радиусу сферы.

Тогда

Мы получили уравнение сферы радиуса  и с центром в точке .

Частным случаем является тот, когда центр сферы совпадает с началом координат.

Тогда координаты центра сферы все равны нулю, и уравнение принимает вид:

.

Пример

Записать уравнение сферы с центром в точке и радиусом 6.

Подставим координаты центра и радиус в общий вид уравнения сферы, получим следующее уравнение:

Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой.

Тогда несложно понять, каким условиям должны удовлетворять координаты точек шара (см. рис. 24).

Все точки шара удалены от центра не далее чем на радиус.

Тогда мы можем выписать условие для координат точек шара:

.

На этом урок заканчиваем. До свидания!

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи.

Проверь себя

1. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку  и перпендикулярна одной из координатных осей:
   1) , плоскость перпендикулярна оси ;
   2) , плоскость перпендикулярна оси .

2. Напишите уравнение сферы с центром в точке , проходящей через точку .

3. Напишите уравнение сферы с диаметром , если ,.

Список использованных источников:

Рис. 1–24. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.