05. Метод координат в пространстве. Профильный уровень

Уравнение плоскости

Всем привет!

Любая фигура или трёхмерное тело ― это множество точек. Если мы умеем описывать положение точки в пространстве, то, значит, можем описать и положение любого тела или его части в пространстве.

Чтобы задать положение объекта, в том числе точки, нужны какие-то ориентиры. В частности, нужен некий базовый объект, относительно которого мы будем описывать положение нашего объекта.

Мы уже знаем, что для описания положения точки на плоскости или в пространстве удобно применять координаты (см. рис. 2).

А поскольку координаты ― это числа, то к ним мы можем применить все методы, изученные в алгебре.

Таким образом, мы получаем два метода исследования свойств различных фигур:

1. Классический геометрический метод.

2. Аналитический метод, или метод координат.

С такой ситуацией мы уже сталкивались на плоскости.

Например, для нас прямая ― это и геометрический объект, и множество точек с координатами , которые удовлетворяют уравнению  (см. рис. 3).

Этот урок мы посвятим описанию фигур или тел в пространстве с использованием координатного метода. И начнём с такого базового понятия стереометрии, как плоскость.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и проведена плоскость (см. рис. 4).

Для большей общности мы не будем себе эту плоскость представлять параллельной какой-либо координатной оси или координатной плоскости. Такие простые случаи мы потом рассмотрим отдельно.

Задача состоит в следующем: сможем ли мы указать такое условие, которому должны подчиняться координаты всех точек плоскости? И наоборот, если координаты некоторой точки подчиняются данному условию, то это означает, что точка принадлежит плоскости.

Чтобы задать плоскость в геометрическом смысле, можно поступить по-разному:

1. Задать три точки плоскости, не лежащие на одной прямой (см. рис. 5).

2. Задать две параллельные прямые, лежащие в данной плоскости (см. рис. 6).

3. Задать две пересекающиеся прямые, лежащие в данной плоскости (см. рис. 7).

Ещё одним способом, который мы и выберем, будет задать точку на плоскости и вектор, перпендикулярный плоскости. Иными словами, существует единственная плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данному ненулевому вектору (см. рис. 8).

Выберем на плоскости  точку  и вектор  с началом в точке , перпендикулярный плоскости . Такой вектор мы будем называть нормальным к плоскости.

Теперь на плоскости выберем произвольную точку . Каким условиям должны соответствовать её координаты?

Для этого рассмотрим вектор . Он перпендикулярен вектору . И наоборот, если векторы перпендикулярны, то точка А принадлежит плоскости (см. рис. 9).

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно , то есть:

.

Найдём координаты вектора  и перемножим векторы в координатной форме. Вектор  имеет координаты .

Вектор имеет координаты .

Перемножим соответствующие координаты векторов и сложим, приравняем их к нулю.

Тогда данное уравнение и задаёт координаты всех точек плоскости, то есть является уравнением плоскости.

Раскроем скобки:

.

Обозначим выражение в скобках через  ― оно не зависит от координат точки , то есть является постоянной величиной:

.

Тогда уравнение плоскости примет вид:

.

Рассмотрим, как будет выглядеть уравнение плоскости, если она параллельна одной из координатных плоскостей, например (см. рис. 10).

Плоскость пересекает ось  в некой точке . Следовательно, все точки плоскости имеют одинаковую аппликату . При этом две другие координаты могут принимать совершенно произвольные значения.

Тогда условие принадлежности плоскости выглядит очень просто:

.

Это и есть уравнение такой плоскости.

Сравните это уравнение с уравнением прямой на плоскости, которая параллельна оси  (см. рис. 11).

Рассмотрим теперь случай, когда плоскость параллельна только одной из координатных осей (в случае параллельности координатной плоскости она параллельна сразу двум координатным осям), например оси .

Тогда нормальный вектор перпендикулярен оси , а значит, имеет третью координату, равную нулю (ответьте почему) (см. рис. 12).

Тогда в общем уравнении плоскости коэффициент .

Уравнение принимает вид:

.

Кстати, подобное рассуждение можно было провести и в предыдущем случае. Там вектор нормали был параллелен оси , а значит, у него первые две координаты были равны нулю.

Итак, давайте теперь посмотрим на всё это ещё раз.

Уравнение плоскости имеет вид: , где ,, ― это координаты нормального вектора к ней: .

Например,  ― это уравнение плоскости.

Нормальный вектор имеет координаты: (см. рис. 13).

Если один из коэффициентов равен нулю, то это означает, что плоскость параллельна координатной прямой, соответствующей выпавшему члену уравнения.

Например,  ― уравнение плоскости.

Нормальный вектор имеет координаты .

Плоскость параллельна оси (см. рис. 14).

Если два коэффициента равны нулю, то это означает, что плоскость параллельна координатной плоскости, соответствующей выпавшим членам уравнения.

Например:  ― уравнение плоскости. Нормальный вектор имеет координаты , то есть он параллелен оси (см. рис. 15).

Плоскость параллельна (см. рис. 16).

Если свободный коэффициент , это означает, что плоскость проходит через начало координат.

Например:  ― уравнение плоскости.

Координаты точки  удовлетворяют уравнению плоскости, а значит, она принадлежит плоскости.

Уравнение плоскости можно использовать для очень удобного метода вычисления угла между плоскостями.

Пусть две плоскости заданы своими уравнениями:

:;

:.

Тогда мы знаем их нормальные векторы и можем найти угол между ними, используя скалярное произведение.

Прямую, содержащую нормальный вектор, будем называть нормалью.

Давайте сравним угол между плоскостями и угол между нормалями к этим плоскостям.

Плоскости  и  пересекаются по прямой  (см. рис. 17).

Плоскость  перпендикулярна прямой  (см. рис. 18).

Тогда угол  между прямыми  и  ― это угол между плоскостями  и  (см. рис. 19).

Построим в точке  нормали  и  к обеим плоскостям (см. рис. 20).

Они получаются поворотом на прямой угол прямых  и  вокруг точки  в плоскости . Но поворот является движением и сохраняет углы. То есть угол между нормалями равен углу между плоскостями.

Но угол между такими прямыми мы искать умеем.

Нормальные векторы имеют координаты:

;

.

А косинус угла между прямыми, их содержащими, то есть между нормалями, вычисляется по формуле:

Пример

Найдём угол между плоскостями:

;

.

Решение:

Подставим коэффициенты из уравнений плоскостей в формулу косинуса угла между ними:

Ответ: .

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость (см. рис. 22).

Сейчас мы с вами разберёмся, как вычислить расстояние от точки до плоскости, если точка задана своими координатами, а плоскость ― своим уравнением.

Итак, плоскость  задана уравнением .

 ― нормальный вектор.

Точка  не принадлежит плоскости.

Проекцией точки  на плоскость  является точка .

Расстояние  от точки  до плоскости ― это длина вектора  (см. рис. 23).

Поскольку векторы  и  оба перпендикулярны плоскости , то они коллинеарны.

Тогда существует такое число , что:

.

То есть искомое расстояние .

Длину вектора  мы знаем.

Тогда

.

Модуль на коэффициенте  необходим, так как мы не знаем его знак. Векторы  и  хоть и коллинеарны, но могут быть противоположно направлены.

Осталось найти коэффициент . Координаты вектора  равны координатам вектора , умноженным на .

Выразим координату точки :

Тот факт, что точка  принадлежит плоскости, означает, что её координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть:

.

Подставим сюда выражения для координат точки :

.

Раскроем скобки: .

Сгруппируем слагаемые с коэффициентом  и вынесем его за скобки:

.

Выразим коэффициент:

Подставим коэффициент в формулы расчёта расстояния:

Сократив на корень, получаем итоговую формулу расстояния:

Хоть вывод формулы был и не очень прост, но пользоваться ей очень удобно.

Нужно в левую часть уравнения плоскости подставить координаты точки, расстояние от которой мы ищем, взять это выражение по модулю и поделить на длину нормального вектора.

Рассмотрим пример.

Найти расстояние от точки  до плоскости, заданной своим уравнением .

В левую часть уравнения подставим координаты точки, полученное выражение возьмём по модулю и поделим на длину нормального вектора:

Получим ответ: .

Уравнение сферы

Рассмотрим теперь вопрос о том, каким условиям должны подчиняться координаты точек сферы, то есть выведем уравнение сферы.

Ситуация очень похожа на вывод уравнения окружности на плоскости.

Давайте вспомним.

Окружность ― это множество всех точек, удалённых на данное расстояние от данной (фиксированной) точки. Это расстояние называется радиусом, а фиксированная точка ― центром окружности (см. рис. 24).

Расстояние от произвольной точки  на плоскости до фиксированной точки  вычисляется по формуле:

.

Именно это расстояние и должно быть равно радиусу.

То есть

Именно так выглядит уравнение окружности радиуса  и с центром в точке .

Повторим почти дословно эти рассуждения в пространстве для сферы.

Сфера ― это множество точек пространства, удалённых от данной (фиксированной) точки на данное расстояние.

Это расстояние называется радиусом, а фиксированная точка ― центром сферы (см. рис. 25).

Расстояние от произвольной точки  в пространстве до фиксированной точки  вычисляется по формуле:

.

Именно оно и должно быть равно радиусу сферы.

Тогда

Мы получили уравнение сферы радиуса  и с центром в точке .

Частным случаем является тот, когда центр сферы совпадает с началом координат.

Тогда координаты центра сферы все равны нулю, и уравнение принимает вид:

.

Пример

Записать уравнение сферы с центром в точке  и радиусом 6.

Подставим координаты центра и радиус в общий вид уравнения сферы, получим следующее уравнение:

Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой.

Тогда несложно понять, каким условиям должны удовлетворять координаты точек шара (см. рис. 26).

Все точки шара удалены от центра не далее чем на радиус.

Тогда мы можем выписать условие для координат точек шара:

.

Различные уравнения прямой

Рассмотрим теперь вопрос, как можно задать прямую в пространстве. Здесь будет несколько способов.

Начнём с первого подхода. Уравнение, которое мы получим, называется каноническим.

Прямая задаётся однозначно, если мы знаем точку, через которую она проходит, и вектор, которому она параллельна. Такой вектор называется направляющим.

Итак, запишем уравнение прямой, проходящей через точку  и параллельной своему направляющему вектору  (см. рис. 27).

Сначала будем предполагать, что ни одна координата направляющего вектора не равна нулю.

Пусть  ― произвольная точка нашей прямой. Тогда векторы  и  коллинеарны.

Это означает пропорциональность их координат, то есть:

.

Это и есть каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пример

Записать уравнение прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором .

Подставим координаты точки и направляющего вектора в общий вид канонического уравнения прямой, получаем:

В первой дроби знаменатель, равный единице, оставляют как есть, подчёркивая координаты направляющего вектора.

Рассмотрим случай, если одна координата направляющего вектора равна нулю, например третья:  и .

Мы не можем записать третью дробь в каноническом уравнении, так как деление на ноль не определено. Но наша прямая параллельна плоскости (см. рис. 28).

Это означает, что у всех точек прямой одна и та же аппликата, такая же, как у точки , и мы можем её записать в явном виде, добавив к неполному каноническому уравнению. Итак, получаем:

Иногда это уравнение записывают следующим образом:

Здесь, конечно, не предполагается деление на ноль. Просто при такой записи сразу видны все координаты направляющего вектора, а в третьей дроби подразумевается, что числитель тоже должен равняться 0.

Пример

Записать уравнение прямой, заданной точкой  и направляющим вектором .

Вторая координата вектора  равна нулю. Следовательно, в каноническом уравнении выпадает вторая дробь, но мы знаем, чему равна ордината всех точек прямой:

Ещё один случай, когда у направляющего вектора две координаты равны нулю.

Запишем, например, уравнение прямой, проходящей через точку , и имеющей направляющий вектор (см. рис. 29).

Направляющий вектор, а следовательно, и прямая, параллельны оси .

Следовательно, у всех точек ордината и аппликата одинаковы:

,.

Эти условия и задают нашу прямую.

Рассмотрим теперь другой способ задания прямой, а именно когда две точки однозначно задают прямую, которой принадлежат.

Итак, запишем уравнение прямой, проходящей через точки и (см. рис. 30).

Но этот случай легко сводится к предыдущему.

В самом деле, вектор  вполне годится на роль направляющего. А в качестве базовой точки можно взять любую из двух, например первую.

Тогда уравнение прямой будет иметь вид:

Пример

Записать уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Подставим координаты точек в общий вид уравнения:

Получаем уравнение:

В случае, если какие-то координаты точек совпадут, это будет означать, что у всех точек будут именно такие координаты.

Пример

Записать уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Первые координаты точек совпадают. Следовательно, первую дробь в уравнении мы записать не сможем, но мы знаем, что абсцисса всех точек прямой равна 1:

Очень важным способом задания кривой (и в частном случае прямой) является параметрический.

Заключается он в следующем: все три координаты задаются как функции одной и той же переменной  (параметра ).

Параметр  меняет свои значения, меняются соответственно и значения координат. Точка «пробегает» заданную прямую (или в общем случае кривую).

Итак, пусть прямая задана точкой , и направляющим вектором (см. рис. 31).

Пусть точка  принадлежит прямой.

Тогда векторы  и  коллинеарны.

Тогда , где t ― некое число, которое для каждой точки  своё (см. рис. 32).

Распишем это равенство для трёх координат:

Или выразим отсюда , и :

Мы получили параметрическое задание прямой. Параметр  пробегает все действительные значения, точка  пробегает по нашей прямой.

Пример

Записать параметрические уравнения прямой, заданной точкой  и направляющим вектором .

Подставим координаты точки и направляющего вектора в общий вид параметрических уравнений:

Получаем:

Найдём точку прямой, соответствующей значению параметра :

Последний способ задания прямой, который мы рассмотрим на этом уроке, основан на том факте, что две пересекающиеся плоскости задают прямую (см. рис. 33).

Пусть две плоскости заданы своими уравнениями:

;

.

Если точка принадлежит прямой, по которой пересекаются эти плоскости, то, значит, она принадлежит обеим плоскостям.

Следовательно, её координаты удовлетворяют системе данных уравнений:

Это и есть способ определения прямой.

Две плоскости не будут задавать прямую, если они не пересекаются, то есть если они совпадают или параллельны. В обоих случаях их нормальные векторы будут коллинеарны друг другу.

Таким образом, чтобы система двух уравнений задавала прямую, необходимо, чтобы не выполнялось условие коллинеарности нормальных векторов:

Пример

Найти точку, принадлежащую прямой, заданной двумя плоскостями:

Поскольку нам всё равно, какая это будет точка, то одну её координату мы можем выбрать произвольно. Если точки с такой координатой не существует, то система не будет иметь решения.

Пусть .

Тогда система примет более простой вид:

Решить её не составляет большого труда.

Сложим оба уравнения: .

Получим: .

Найдём , подставим значение  в любое уравнение: .

Таким образом мы получили точку прямой с координатами .

Аналогично, обнулив, например, переменную , мы найдём ещё одну точку прямой. И тогда сможем записать каноническое уравнение.

Но более подробно мы рассмотрим это уже на практическом уроке.

На этом урок заканчиваем, до свидания.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Вычисление расстояний в пространстве.

3. Уравнения прямой в пространстве.

Проверь себя

1. Найдите расстояние от точки  до плоскости, которая проходит через точку  и перпендикулярна прямой , если ,.

2. Напишите уравнение сферы с диаметром , если ,.

3. Запишите уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно оси .

Список использованных источников:

Рис. 1–33. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.