06. Объём пирамиды и конуса

Введение

Легко или сложно вычислять объемы? Пока мы умеем находить лишь объемы параллелепипедов, цилиндров и призм, поэтому задача вычисления объемов кажется довольно легкой. Действительно, и формулы доказывались без труда, и вычисления были не слишком громоздкими. Собственно, формула для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда известна еще с начальной школы.

Идея была относительно проста. Мы ввели объем куба, через него нашли объем прямоугольного параллелепипеда, по сути, «разбив» его на кубики, отсюда пришли к призмам, а от них – к цилиндрам. Но в случае пирамиды и конуса «разбить» их на кубики не получится.

Хотя древние греки пробовали. В V веке до н. э. греческим математиком Демокритом было высказано предположение, что объем пирамиды равен трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Доказать это не смог ни он, ни получивший позднее тот же результат Евклид. Впрочем, данная формула подтверждалась практикой – действительно, мы можем измерить объем любой конкретной пирамиды с любой степенью точности. Например, если взять пирамидку и заполнить ее чем-нибудь (водой, песком), а потом вычислить объем того, чем мы заполняли. Впрочем, ученые и по сей день пытаются разбить призму на три равных пирамиды, что доказало бы формулу.

Объем пирамиды и усеченной пирамиды

В наши дни формула давно доказана. И сделано это с помощью интегралов. Помним, что , где  – это площадь сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной некоторой оси, которую мы провели.

С помощью этого метода выведем объем пирамиды. Начнем с объема треугольной пирамиды.

Рассмотрим пирамиду  ( – вершина), обозначим ее объем через ; площадь ее основания ; ее высота  (см. Рис. 1).

Проведем ось , совпадающую с лучом . Рассмотрим произвольную точку  на этой оси внутри пирамиды. Через эту точку проведем сечение , перпендикулярное нашей оси. Помним, что , где  – площадь сечения  (см. Рис. 2). Выразим, чему равно .

Заметим, что : из того, что плоскости  и  перпендикулярны оси , следует, что плоскости параллельны, а значит, ,  и . Тогда получается, что ,  и , откуда следует, что  (по третьему признаку подобия) (см. Рис. 3).

Найдем, чему равен коэффициент подобия .

Рассмотрим  и . Они подобны с тем же коэффициентом , т. к. , а значит, . Из условия ,  и пусть , тогда . Получаем, что .

Учитывая, что , получаем ; .

Окончательно,

Итак, мы доказали, что объем треугольной пирамиды .

Осталось вывести формулу для произвольной пирамиды. Это делается просто: разбиваем произвольную пирамиду на треугольные (см. Рис. 4).

Тогда

Итак, окончательно, теорема, которую мы доказали: объем пирамиды равен трети произведения площади ее основания и высоты .

В качестве следствия можно доказать и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды (см. Рис. 10): , где  – высота усеченной пирамиды, а и  – площади ее оснований.

Доказательство (без интеграла)

Докажем, что . Как и в первом доказательстве, мы докажем формулу для треугольной пирамиды, а как она обобщается до произвольной, вы уже знаете.

Пусть  – треугольная пирамида,  – вершина,  – основание (см. Рис. 5).

Дополним эту пирамиду до призмы с тем же основанием и высотой (см. Рис. 6).

Эта призма составлена из трех пирамид: данной ,  и  (см. Рис. 7).

Рассмотрим исходную пирамиду  и пирамиду . Заметим, что у них  (как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали  в параллелограмме ). Высоты, проведенные из точки  на каждую из этих плоскостей, совпадают  (см. Рис. 8).

Раз у пирамид  и  равны высоты и основания, то равны и объемы (следует из равенства объемов равновеликих тел).

Аналогично если рассмотреть пирамиды и , то , т. к.  (как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали  в параллелограмме ). Высоты, проведенные из точки  на каждую из этих плоскостей, совпадают  (см. Рис. 9). То есть площади оснований и высоты равны.

Получили, что все три пирамиды имеют один и тот же объем , то есть , откуда . Теорема доказана.

Объем усеченной пирамиды

Итак, пусть у усеченной пирамиды  основания имеют площади , ; высота – . Достроим эту усеченную пирамиду до обычной пирамиды. Пусть  – вершина пирамиды. Опустим высоту, она пересечет основания в точках и  соответственно. Пусть  (см. Рис. 11).

Заметим, что  и коэффициент подобия  (обосновывалось раннее).

Тогда очевидно, что объем усеченной пирамиды равен разности объемов большой пирамиды и малой, то есть:

 .

Осталось найти .

Из того, что , получаем   (в силу того что это соответствующие отрезки подобных фигур, чьи площади нам известны).

С другой стороны,  (было выведено ранее), тогда .

Значит, ; ; .

Окончательно,

в силу формулы разности кубов. Что и требовалось доказать.

Пример 1

Закрепим выведенную формулу объема пирамиды примером.

Чему равен объем  правильной треугольной пирамиды , если , ? (См. Рис. 12.)

Решение. Как мы знаем, .

Поскольку в основании лежит правильный треугольник (см. Рис. 13), то .

Найдем высоту  из прямоугольного треугольника . Гипотенуза  , а катет – радиус описанной окружности, который равен , то есть  (см. Рис. 14).

Отсюда по теореме Пифагора . А значит, объем равен .

Ответ: .

Объем конуса и усеченного конуса

Теорема. Объем конуса (см. Рис. 15) равен , где  – радиус основания конуса,  – его высота.

Формула для вычисления объема конуса в точности совпадает с аналогичной формулой для пирамиды, так как конус – это, по сути, и есть пирамида, только в основании лежит «бесконечноугольник» – окружность (см. Рис. 16).

Если подставить в формулу объема пирамиды площадь основания конуса, то есть площадь круга, то мы и приходим к формуле .

Доказывается же формула для конуса абсолютно аналогично пирамиде. Рассматривается такая же ось, отмечается точно такое же подобие, а дальше берется тот же самый интеграл (см. Рис. 17).

Аналогичным выглядит и следствие про усеченный конус (см. Рис. 18): . Доказательство абсолютно аналогично тому, что было приведено для усеченной пирамиды.

Заключение

Сегодня были выведены новые формулы: объема пирамиды  и объема конуса , объема усеченных пирамиды и конуса  – и был разобран пример, иллюстрирующий эти формулы. Более подробно разобраться с формулами поможет решение задач с использованием этих формул.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

Домашнее задание

1. Вычислите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, если стороны ее оснований равны  и , а перпендикуляр, который соединяет основания, равен .

2. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

3. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.