17. Объёмы круглых тел

Напоминание, способ получения цилиндра и конуса, формулы их объема

Имеем прямоугольник, стороны прямоугольника полностью его определяют (рис. 1). Прямоугольник вращаем относительно прямой, в результате чего получаем цилиндр. Два элемента, которые полностью определяли исходный прямоугольник, теперь полностью определяют цилиндр: R – радиус основания,,– высота,, перпендикулярна плоскости основания. Таким образом получается цилиндр. Его объем равен:

Рассмотрим конус (рис. 2):

Конус получается из прямоугольного треугольникавращением его относительно одного из катетов, например SO. Конус, как и прямоугольный треугольник, задается двумя элементами: это могут быть радиус основания R и высота h или радиус основания R и образующая l. Объем конуса равен:

Задача №1. Отношение объемов цилиндра и конуса при равных высотах и радиусах оснований

Дано: R и h – радиус и высота цилиндра и конуса.

Найти: отношение их объемов.

Решение:

Ответ:

Замечание: данное соотношение справедливо, когда радиусы основания и высота цилиндра и конуса одинаковые.

Задача №2. Вычисление объема цилиндра

Площадь основания цилиндра равна 25 см2, а площадь осевого сечения равна 16 см2.

Дано:,

Найти:

Решение

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна, а вторая сторона равна h (рис. 3).

Найдем радиус основания цилиндра из формулы площади основания, которое является окружностью:

Найдем высоту цилиндра из формулы площади осевого сечения, которое является прямоугольником:

Найдены все элементы, чтобы найти искомый объем:

Ответ: объем цилиндра равен(см)

Задача №3. Вычисление объема цилиндра

Плоскость проходит через хорду AB основания цилиндра параллельно его оси и на расстоянии 4 от нее;, образующая цилиндра равна 10. Найти его объем.

Дано: ,,

Найти:

Решение

– хорда в основании, расстояние между плоскостьюосьюравняется 4,– образующая, плоскостьпараллельна оси(рис. 4). Нам важно расстояние между осью и плоскостью.

Пусть H – середина AB, тогда отрезок OH перпендикулярен AB в силу того, что треугольникравнобедренный. OH перпендикулярен в силу того, чтоперпендикулярен всей плоскости основания.

Значит,перпендикулярен плоскости сечения, а с другой стороныперпендикуляренЗначит,– это расстояние между осевой прямойи плоскостью сечения, значит,Запишем более кратко:

Теперь найдем радиус основания ():

Теперь нам все известно для нахождения объема:

Ответ:

Задача №4. Шар и касательная к нему

К сфере проведена касательнаяи секущая, проходящая через центр, причем ее внешняя часть Найти объем шара.

Дано:

Найти:

Решение

Замечание: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Рассмотрим прямоугольный треугольник(рис. 5).

По теореме Пифагора имеем:

Зная радиус, можем найти объем шара:

Ответ:

Задача №5. Вычисление объема тела вращения

Треугольниквращается относительно прямой AB, найти объем тела вращения.

Дано:

Найти:

Решение

по условию, равнобедренный. Так как вращение происходит относительно прямой, любая точка, в том числе точка C, описывает окружность с радиусом CH, где H это середина(рис. 6).

Видим, что треугольникпрямоугольный. Он вращается относительно своего катета. Второй такой же треугольник, так же прямоугольный, тоже вращается относительно своего катета

Искомый объем тела вращения состоит из объемов двух равных конусов.

Вычислим радиусиз(, так как– середина):

Найдем объем одного из конусов:

Найдем объем тела вращения, помня, что конусы равны:

Ответ:

Вывод

Мы научись решать задачи, требующие нахождения объема круглых тел.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.

3. Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).

2. Mathb.reshuege.ru (Источник).

3. Mathb.reshuege.ru (Источник).

Домашнее задание

1. № 713, № 667, № 670 (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян)