02. Объём прямоугольного параллелепипеда

Общие сведения о прямоугольном параллелепипеде

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.

На рис. 1 изображен прямой параллелепипед  (сокращённо обозначается ).  и  – прямоугольники (основания параллелепипеда). Рёбра , , ,  перпендикулярны основаниям.

Прямой параллелепипед похож на вытянутый или сжатый куб, поэтому объём его найдём сравнением с эталоном, кубом, сторона которого равна 1 мм (1 см, 1 м и т.д.). Для этого используем задачу 1.

Задача 1. Вычисление объёма куба

Найти объём куба со стороной , где – любое натуральное число ().

Решение

Найти объём – это значит сравнить его с эталоном. Эталон – единичный куб.

Для того чтобы найти объём нужного нам куба, следует:

1. Каждое ребро эталона разбить на равных частей.

2. Через точки разбиения провести плоскости перпендикулярные ребру.

3. Эталон разобьется на одинаковые кубики, их число , а длина ребра каждого из них равна  (рис. 2).

Единичный объём (эталона) равен , где  – число кубиков, – объём каждого кубика, то есть искомый объём.

Ответ: .

Свойства объёмов и теорема об объёме прямоугольного параллелепипеда

В задаче 1 мы использовали свойства объёмов.

1. Равные тела имеют равные объёмы (таковыми в задаче являются все  штук кубиков).

2. Если тело можно разбить на несколько тел, то его объём равен сумме объёмов составляющих тел (, где – объём каждого кубика).

Теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (высота , длина, ширина).

Доказательство этой теоремы проведём в задаче 2.

Задача 2. Доказательство теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда (1-ый случай) и разъясняющий пример

Дано:  – прямоугольный параллелепипед,  – прямоугольник,  (рис. 3).

Доказать: .

Доказательство:

Для доказательства нужно разбить параллелепипед на малые кубы с ребром . Необходимо найти .

Пусть , , – конечные десятичные дроби, количество цифр после запятой у них не превосходит (). Тогда ; ;  – натуральные числа.

Разобьём каждое ребро (, , ) на равные отрезки (рис. 4). Длина каждого отрезка будет равна:

.

Через концы этих отрезков проведём плоскости, перпендикулярные рёбрам. Параллелепипед разобьется на малые кубики с длиной ребра . Количество таких кубиков будет равно:

.

Объём каждого из этих кубиков равен .

Следовательно, объём всего параллелепипеда будет равен .

Что и требовалось доказать.

Разъясняющий пример

; ;  (рис. 3)

Количество знаков после запятой у числа равно 2, у числа – 1, у числа – 0, то есть оно не превышает 2 ().

Каждое ребро разбивается на равные отрезки длиной:

Длина отрезков равна , а длина всего ребра a равна 0,03, следовательно, ребро a делится на три отрезка. Длина  – делится на 10 отрезков, длина  – делится на 100 отрезков.

Параллелепипед разбиваем на малые кубики с длиной ребра . Количество таких кубиков равно 3000 ().

Объём каждого из этих кубиков равен .

Следовательно, объём всего параллелепипеда будет равен .

А по теореме объём равен .

Мы повторили доказательство на конкретных цифрах.

Задача 2. Доказательство теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда (2-ой случай)

Пусть хотя бы одно из измерений , , – бесконечная десятичная дробь. Зафиксируем знаков после запятой, а остальные цифры, начиная с -й, отбросим. Получим , ,  – приближения , , по недостатку.

; ;  – приближения по избытку.

Перемножим эти неравенства: .

То есть , где ,  – объёмы параллелепипедов с измерениями , ,  и , , .

Параллелепипед (с измерениями , , ) содержит в себе параллелепипед (с измерениями , , ), а сам содержится в параллелепипеде (с измерениями , , ) (рис. 5): .

При неограниченном увеличении () стремится к 0 ().

Тогда , ; ,; , .

Следовательно, .

Поэтому .

Что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда

Из доказанной теоремы вытекают следствия.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Доказательство

На рис. 6 изображён прямоугольный параллелепипед. В основании лежит прямоугольник, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, следовательно, является высотой. Из основной теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда .

Площадь основания – это площадь прямоугольника .

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда является его высотой : .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

2. Объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту призмы .

Доказательство

На рис. 7 изображена прямая призма. Угол  в  прямой, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Эта призма является частью прямоугольного параллелепипеда . Дополняем призму до параллелепипеда (рис. 8).

Объём этого параллелепипеда равен , где  – площадь основания параллелепипеда, – высота параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед  состоит из двух равных призм с основаниями и , поэтому объём этого параллелепипеда также можно найти путём сложения объёмов двух призм: .

Отсюда объём призмы равен .

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Вычисление объёма призмы

Дано:  – прямая треугольная призма (рис. 9), , , , , медиана в .

Найти: – объём призмы.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник . В нём медиана , следовательно,  прямоугольный, . ( состоит из двух равнобедренных треугольников, углы и  – углы при основании этих треугольников (рис. 10). Сумма углов  равна .

Следовательно, .

2. Так как  прямоугольный, то  – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Следовательно, объём данной призмы равен .

, так как призма прямая.

Ответ: .

Разветвление: Задача об удвоении куба

Согласно античной легенде, жителям острова Делос потребовалось удвоить объём куба. Эту задачу можно решить аналитически.

Пусть – ребро старого куба, тогда его объём равен .

Объём получившегося в результате удвоения куба равен , где – ребро нового куба.

Возникает проблема построения отрезка длиной  с помощью линейки и циркуля, поэтому античным ученым это сделать не удалось. В 1837 году учёный Ванцель доказал, что циркулем и линейкой такое построение невозможно.

Мы знаем формулу для объёма прямоугольного параллелепипеда  и его частного случая, куба , поэтому легко получили результат: чтобы удвоить объём куба с ребром a, нужно построить куб с ребром . Получили иррациональное число, но для него есть рациональные приближения.

Вспомним задачи, которые невозможно решить с помощью линейки и циркуля:

1. Об удвоении куба;

2. О квадратуре круга. Задача заключается в построении квадрата равновеликого кругу, то есть площадь искомого квадрата должна быть равной площади круга (рис. 11).

3. О трисекции угла. Задача заключается в рассечении произвольного угла на три равных угла (в частных случаях задача решаема) (рис. 12).

Подведение итогов урока

На данном уроке мы доказали важную теорему об объёме прямоугольного параллелепипеда и рассмотрели следствия из этой теоремы.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Домашнее задание

1. Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 652, 653, 656.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Oldskola1.narod.ru (Источник).