03. Объём прямой призмы и цилиндра

Введение

Для решения задач потребуется вспомнить формулы для нахождения объемов куба, прямоугольного параллелепипеда и прямой треугольной призмы. (См. Рис. 1.)

На этой базе мы сегодня выведем формулы для вычисления объемов еще двух фигур – произвольной прямой призмы и цилиндра.

Теорема 1. Объем прямой призмы

Объем прямой призмы равен произведению ее площади основания на высоту: .

Доказательство (для произвольной треугольной призмы (см. Рис. 2) и для любой призмы (см. Рис. 3)):

1. Рассмотрим треугольную призму  (см. Рис. 4).

Проведем высоты  и  (см. Рис. 5).

Получается, что призма  разбилась на две призмы:  и . (См. Рис. 6.)

Тогда по свойству объемов объем исходной призмы будет равен сумме объемов призм разбиения .

Каждая из призм  и  является прямой призмой, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. (См. Рис. 7.)

Тогда  и . Так как высота у этих призм одинаковая , то, складывая объемы, эту высоту можно вынеси за скобки. (См. Рис. 8.)

Таким образом,

Что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим произвольную призму, т.е. -угольную, но при этом прямую. Разбиваем ее основания на треугольники. (См. Рис. 9).  

Образовалось несколько треугольных призм. (См. Рис.10). Количество полученных призм не имеет значения.

Тогда понятно, что объем исходной призмы будет равен сумме объемов полученных треугольных призм, т. е. . Поскольку каждая из полученных призм прямая и треугольная, то для данной формулы будет выполняться равенство из пункта 1 (см. Рис. 11):

(Высота у полученных призм одинаковая, т. к. эта высота является высотой исходной призмы (см. Рис. 12)).

Таким образом,  для любой призмы. Теорема доказана.

Пример 1

Найти объем прямой призмы  (см. Рис. 13), если ; ;  (где  – высота ).

Решение. Рассмотрим . Он равнобедренный, значит, его высота  совпадает с биссектрисой, то есть  (см. Рис. 14).

Тогда из треугольника : ; . Значит, .

А тогда .

Ответ: .

Формула для вычисления объема цилиндра

Теперь найдем формулу для вычисления объема цилиндра. Как обычно, речь пойдет о прямом круговом цилиндре.

Напомним, что цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы, и наоборот, описанным – если основания описаны около оснований цилиндра. Также, напомним, что высоты у призмы и вписанного, равно как и описанного, цилиндров совпадут (см. Рис. 15).

Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. .

Формула схожа с формулой объема призмы, т. к., по сути, цилиндр – это предельный случай призмы, когда - угольник в основании призмы стремится к окружности.

Впишем в данный цилиндр  радиуса  и высоты  правильную -угольную призму . Тогда логично, что в окружность основания цилиндра вписан правильный -угольник. Высота этой призмы будет также  (см. Рис. 16).

Найдем объем призмы . Пусть  – сторона основания призмы,  – центр основания (см. Рис. 17). Тогда .

То есть .

Наряду с этим опишем около данного цилиндра правильную -угольную призму . Высота этой призмы будет также  (см. Рис. 18).

Найдем объем призмы . Пусть – сторона основания призмы,  – центр основания (см. Рис. 19). Тогда .

То есть .

Таким образом, искомый объем цилиндра удовлетворяет неравенству , то есть он больше объема призмы, вписанной в него, и меньше объема призмы, описанной около него.

Устремим  к бесконечности. С помощью замечательного предела можно получить, что обе площади устремятся к площади круга .

Первый замечательный предел

Вспомним замечательный предел: .

Тогда .

Аналогично .

Подставляя эти результаты в формулы, получаем требуемый результат.

Значит, получаем, что , что и требовалось доказать.

Пример 2

Площадь основания цилиндра равна , а площадь осевого сечения равна . Найти объем цилиндра (См. Рис. 20).

Решение. , значит, .

Далее, площадь осевого сечения равна ; .

Окончательно, .

Ответ: .

Задача

В цилиндр вписана призма , основанием которой является прямоугольный треугольник (), в котором , , . Найти отношение объемов призмы и цилиндра  (см. Рис. 1).

Решение.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, т. е. . Найдем площадь основания призмы. Рассмотрим прямоугольный  в основании призмы. Катет , а угол напротив этого катета , значит, гипотенуза  (см. Рис. 2).

А радиус описанной около основания окружности  – это и есть радиус основания цилиндра. Кроме того, катет  (по определению синуса).

Подставим данные в формулы, учитывая, что высоты у фигур совпадают, .

;

. 

Окончательно .

Ответ: .

Заключение

Были разобраны две теоремы: две новые формулы для нахождения объемов прямой призмы и цилиндра. Выяснили, что в обоих случаях .

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Математика? Легко!» (Источник)

Домашнее задание

1. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

2. Основание прямой призмы – ромб с острым углом . Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол . Найдите объем призмы, если ее высота равна .

3. Через одну образующую цилиндра проведены два сечения, угол между плоскостями которых равен , а площадь каждого из полученных сечений равна . Найдите объем цилиндра, если его высота равна .