08. Объёмы и площади элементов тел вращения. Профильный уровень

Применение интеграла для вычисления объёмов тел вращения

Как мы уже знаем, геометрический смысл интеграла ― это площадь под графиком соответствующей функции (см. рис. 1).

Это наталкивает на мысль, что площадь некой фигуры можно найти с помощью интегрирования, если удастся описать её границы посредством каких-то функций.

Но можно искать не только площадь, можно искать и объёмы тел, если удастся описать с помощью функций их границы. Проще всего это сделать для тел вращения. Их границы описываются проще остальных, в сечении всегда окружность (см. рис. 2).

Для начала рассмотрим, как интеграл используется для вывода уже известных нам формул объёмов тел вращения.

Объём цилиндра

Расположим цилиндр горизонтально так, чтобы начало координат совпало с центром левого основания цилиндра, а ось Oх была направлена в сторону правого основания. У центра правого основания будет координата Н, где Н ― высота цилиндра.

Выберем точку Х на оси в промежутке от нуля до Н.

Построим сечение, проходящее через эту точку, и вычислим его площадь (см. рис. 3).

Сечение ― это круг, и мы так всегда будем выбирать сечения для тел вращения.

Понятно, что если мы поменяем точку Х, то площадь сечения меняться не будет, то есть функция площади сечения является постоянной функцией, не зависящей от Х: , где R ― радиус цилиндра.

Для вычисления объёма воспользуемся следующей формулой: .

В нашем случае: .

Поскольку  ― константа, не зависящая от х, то её можно вынести за знак интеграла:

.

Мы получили хорошо нам знакомую формулу для вычисления объёма цилиндра:  .

Обратите внимание на уроки, посвящённые выводу формул объёма призмы и объёма цилиндра (Пирамида и призма. Базовый уровень, Тела вращения. Базовый уровень).

Выведем теперь формулу для вычисления объёма конуса.

Объём конуса

Действовать будем так же, как и для цилиндра. Расположим конус горизонтально, начало координат совместим с вершиной конуса, центр основания конуса будет лежать на оси Oх и иметь координату Н. Посчитаем площадь сечения плоскостью, проходящей через точку Х (см. рис. 4).

Найдём радиус сечения r из подобия треугольников: .

Выражаем : .

В отличие от цилиндра, теперь площадь сечения зависит от выбора точки . Запишем площадь как функцию от .

Вычислим объём конуса:  .

Вынесем за интеграл множитель, не зависящий от : .

Мы получили известную нам формулу для вычисления объёма конуса: .

Ранее, чтобы получить эту формулу, мы использовали довольно хитрые способы, вывели аналогичную формулу для пирамиды и затем её уже перенесли на конус (см. Пирамида и призма. Базовый уровень, Тела вращения. Базовый уровень). Здесь же мы эту формулу получили сразу, не используя никаких изощрённых приёмов.

Давайте теперь получим формулу объёма шара, используя те же методы, которые мы использовали для формулы объёма цилиндра и конуса.

Объём шара

Поскольку мы всегда рассматриваем сечение тела вращения, которое представляет собой круг, то нет необходимости делать каждый раз стереометрический рисунок. Достаточно нарисовать плоскую картинку, вид сбоку.

Более того, для упрощения рассуждений возьмём только половину шара, соответственно, получим объём полушара, который потом нужно умножить на два.

Выберем точку Х в интервале от до  и найдём радиус соответствующего ей сечения (см. рис. 5).

Найдём радиус  из прямоугольного треугольника :

Площадь сечения:

Вычислим объём полушара:

Мы нашли объём полушара.

Умножим на два, чтобы получить знакомую формулу объёма всего шара:

Если помните, данную формулу мы получили, используя принцип Кавальери (см. Тела вращения. Профильный уровень). Для этого мы сравнивали сечение шара и сечение хитрого тела, полученное вырезанием из цилиндра конуса (см. рис. 6).

Согласитесь, тот метод, который мы использовали сейчас, менее трудоёмкий.

Наверное, на этих примерах стал понятен общий принцип отыскания объёма тела вращения.

Нужно расположить тело вращения так, чтобы его ось вращения совпала с осью . Удобно, если начало координат окажется на левом краю тела, но это необязательное условие.

В общем случае края тела вращения находятся в точках  и .

Далее в произвольной точке  нужно провести сечение и найти его площадь (см. рис. 7).

Поскольку при выбранном нами расположении тела вращения вертикальное сечение всегда представляет собой круг, то нам достаточно найти его радиус. Если мы сможем найти площадь сечения в любой точке , то есть функцию, выражающую площадь этого сечения от , то остаётся вычислить интеграл или, как говорят, «взять интеграл» от этой функции в пределах от  до  (см. рис. 8).

Кстати говоря, взятие самого интеграла может оказаться тоже нетривиальной задачей. Всё зависит от того, какую функцию мы получим.

Иногда нам требуется найти объём не всего тела, а только его части. Задача принципиально не меняется, меняются только пределы интегрирования.

Всё вышесказанное можно сформулировать более строго.

Пусть дана некая неотрицательная функция  на отрезке  (см. рис. 9).

Если график этой функции вращать вокруг оси , то мы получим тело вращения, ограниченное поверхностью вращения.

Площадь поперечного сечения в точке  (см. рис. 10) вычисляется по формуле , но радиус этого сечения в точке  равен , то есть получаем:

Тогда объём тела вращения вычисляется по формуле:

Объём части шара

Теперь выведем формулы для вычисления объёмов различных частей шара.

Плоскость, пересекающая шар, рассекает его на два сегмента (см. рис. 11).

Чтобы найти объём шарового сегмента, нам необходимо вычислить такой же интеграл, как при вычислении объёма всего шара, но только в других пределах.

Объём шарового сегмента

Итак, пусть от шара радиуса  отсечён сегмент высотой  (см. рис. 12).

Найдём его объём.

Функция площади сечения та же самая, что и при вычислении объёма шара, так как это и есть площадь сечения шара.

Пределы интегрирования увидеть нетрудно: :

Самостоятельно раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Получим в итоге формулу объёма шарового сегмента, а именно:

Легко увидеть, что если высота сегмента , то есть сегмент ― это весь шар, то формула объёма шарового сегмента превращается в формулу объёма шара.

Вспомним, что шаровой слой ― это часть шара между двумя параллельными плоскостями (см. рис. 13).

Вычислять объём шарового слоя можно или непосредственным интегрированием, или вычитая из объёма всего шара объёмы двух соответствующих шаровых сегментов.

Как поступать, зависит от ситуации.

Попробуйте непосредственным интегрированием без использования формул объёмов сегментов решить следующую задачу.

Задача 1.

От шара радиуса R = 5 параллельные плоскости отсекают сегменты высотой  и . Найдите объём полученного шарового слоя.

Решение задачи

Дано: ,,,

Найти:

Решение:

Используем тот же метод. Расположим центр шара в начале координат. В точках  и  проведём плоскости, перпендикулярные оси  (см. рис. 14).

Так мы отсекли от шара сегменты требуемой высоты (см. рис. 15).

Вычислим объём полученного шарового слоя:

Проверим вычисления с помощью формулы объёма сегмента:

Ответ тот же самый. При этом не сказать, что вышло сильно быстрее.

Так что смело можете в таких задачах использовать именно интегрирование. Тогда не понадобится помнить много формул.

Аналогом кругового сектора является шаровой сектор (см. рис. 16).

Более того, его можно рассматривать как тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси симметрии, то есть биссектрисы центрального угла (см. рис. 17).

Объём шарового сектора

Очевидно, объём шарового сектора равен сумме объёмов сегмента и конуса (см. рис. 18, 19).

Объём конуса равен:

Найдём  по теореме Пифагора:

Тогда:

Найдём теперь объём сектора:

Итак, мы получили формулу объёма шарового сектора:

Решим задачу.

Задача 2.

Круговой сектор с углом  и радиусом 10 см вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объёмы полученных шаровых сегмента и сектора (см. рис. 20).

Найдём высоту сегмента .

 см

Тогда высота сегмента:

 см

Найдём объём сектора:

Проверяем себя.

Найдём объём конуса:

.

Всё верно.

Ответ: ,.

Площадь поверхности вращения

Рассмотрим ещё одно применение определённого интеграла.

Вспомним нашу картинку: неотрицательная функция  на отрезке , мы вращаем график этой функции вокруг оси х и получаем поверхность вращения, которая ограничивает тело вращения.

Мы даже научились считать объём этого тела вращения:

Но кроме того, мы можем искать и площадь самой поверхности вращения с использованием интеграла.

Формула для отыскания этой площади имеет вот такой вид:

Если вспомнить, что , то формулу можно записать короче:

Мы не будем доказывать с вами эту формулу, но потренируемся её использовать.

Поверхность шарового слоя называется сферическим поясом.

Давайте решим задачу на отыскание площади сферического пояса.

Задача 3.

Сфера задаётся вращением функции:  вокруг оси Ох (см. рис. 22).

Выделим сферический пояс значениями  и  (см. рис. 23).

Чтобы воспользоваться формулой площади поверхности: , найдём производную функции (см. рис. 24): , тогда .

Подставим найденную производную в формулу площади поверхности:

Запишем произведение корней как один корень:

Мы получили формулу площади сферического пояса.

Обратите внимание,  ― это ширина сферического пояса (или высота, смотря как его расположить).

Мы получили неожиданный факт. Если мы переместим вправо или влево одновременно  и , не меняя ширину пояса, то его площадь не изменится (см. рис. 25).

То есть его площадь зависит только от радиуса шара и высоты пояса.

Формулу можно записать тогда таким образом: , где h ― высота (ширина) пояса.

Нетрудно увидеть, что если высота пояса равна  (см. рис. 26), то формула принимает вид: , то есть превращается в формулу для вычисления площади всей сферы.

Кроме того, понятно, что площадь сферического сегмента вычисляется по той же самой формуле, так как сегмент ― это предельный случай пояса.

Решим напоследок задачу.

Задача 4.

Понятно, что экватор разбивает Землю на два полушария равной площади (см. рис. 27).

А какая параллель разбивает полушарие на ещё две равные по площади части?

Давайте поделим Северное полушарие (см. рис. 28).

Каждая параллель разбивает полушарие на пояс и сегмент. Площадь сегмента и пояса считаются по одной и той же формуле: , где h ― высота пояса и сегмента.

Следовательно, чтобы их площади были равны, необходимо, чтобы и высоты были равны, то есть составляли по полрадиуса Земли.

Широта параллели отсчитывается от экватора.

Поскольку радиус делится пополам, то синус угла (дуги) между экватором и искомой параллелью равен , то есть угол равен (см. рис. 29).

Итак, 30-я параллель делит Северное полушарие на две равные по площади части.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. общеобр. учреждений. Базовый и углублённый уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2018–2020.

2. Геометрия: учеб. для 11 кл. общеобр. учреждений. Углублённый уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. ― 2-е изд., стереотип. ― М.: Вентана-Граф, 2020.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Геометрический смысл определённого интеграла. Выражение площади криволинейной трапеции интегралом (Источник). 

2. Как вычислить площадь поверхности вращения? (Источник) 

3. Площадь на сфере: сферы, шапочки, кольца (Источник).

Домашнее задание

1. Вода в коническом сосуде была налита доверху. Насколько понизился её уровень, когда отлили половину имеющейся воды?

2. График  вращается вокруг оси Оx. Найдите площадь поверхности полученного тела, если по оси Оx оно принимает значения от 0 до 1.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из углов ― . Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к данному углу.