01. Понятие цилиндра

Введение

Что вы представляете, когда слышите слово «цилиндр»? Кто-то представил себе трубу, она имеет цилиндрическую форму. Хлопушка, насос, палка колбасы – все они также имеют цилиндрическую форму (см. рис. 1).

А что вы думаете на счет всем известной Пизанской башни? Можно назвать ее форму цилиндрической или нет, так как она наклонена? (см. рис. 2)

Разветвление: Пизанская башня

Пизанская башня. Кстати, а вы знали, что Пизанская башня была наклонена непреднамеренно? Все произошло потому, что почва была слишком мягкой и проседала с одной стороны – еще во время строительства. Так что не будь этого, башня была бы цилиндрической в привычном для нас смысле. Забавно, что башня продолжала наклоняться все это время, процесс завершился лишь в 2008 году, совсем недавно!

Цилиндр, его элементы и виды цилиндров

Рассмотрим произвольные параллельные плоскости и . В плоскости  рассмотрим окружность с центром в точке  радиуса . Теперь проведем через каждую точку этой окружности прямую (не лежащую в данной плоскости) так, чтобы все проведенные прямые были параллельны. Эти прямые пересекут плоскость  по другой окружности того же радиуса (см. рис. 3).

Разветвление: Параллельный перенос

Параллельный перенос. Почему получится именно окружность? По сути, мы каждую точку перенесли на один и тот же вектор (векторы равны, так как они сонаправлены и равны по длине как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями). Но параллельный перенос есть движение, а значит, наложение, при котором фигура переходит в равную ей фигуру, ч т.д.

Сечения цилиндра

Совокупность параллельных прямых, соединяющих точки на окружностях, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности (см. рис.4). И теперь мы готовы дать главное определение урока.

Круговым цилиндром называется тело в пространстве, ограниченное двумя кругами и цилиндрической поверхностью (см. рис. 5).

Сразу оговоримся, что это понятие можно обобщить, просто цилиндр – это когда основания не круги. Но мы остановимся только на круговых, их и будем иметь в виду в дальнейшем.

Круги – основания цилиндра. Радиус каждого из оснований (они равны) – радиус цилиндра (см. рис. 6).

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, – образующие цилиндра (см. рис. 7).

Само слово цилиндр происходит от греческого «килиндрос» – валик, каток. Напомним, цилиндр, который мы рассматриваем, еще называют круговым, так как в основаниях лежат круги. Если рассмотреть другую фигуру (например, эллипс), то получится эллиптический цилиндр (см. рис. 8).

Если образующие перпендикулярны основаниям цилиндра, такой цилиндр называется прямым (см. рис. 9).

В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно прямые круговые цилиндры, причем по умолчанию любой цилиндр считается прямым круговым. Поговорим о таких цилиндрах.

Отрезок, соединяющий центры оснований такого цилиндра, – ось цилиндра (см. рис. 10).

Вращая прямоугольник вокруг этой оси, можно получить наш цилиндр (см. рис. 11).

Введем следующее определение. Высотой цилиндра назовем отрезок, соединяющий точки его оснований и перпендикулярный основаниям. Высотой прямого кругового цилиндра является ось (или образующая) – все равно: они в прямом круговом цилиндре равны (см. рис. 12).

Сечения цилиндра

Далее рассмотрим перпендикулярное сечение такого цилиндра (то есть сечение, перпендикулярное оси). Несложно понять, что, где бы мы его ни провели, в сечении будет такой же круг, что и в любом из оснований (см. рис. 13).

Можно также рассмотреть сечение, проходящее через ось цилиндра. В этом случае оно представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна образующей (или оси), а другая является диаметром основания. Такое сечение называют осевым. Именно вращая такое сечение вокруг оси, мы и получаем наш цилиндр (см. рис. 14).

Наконец, можно говорить и о неперпендикулярном сечении: ведь ту же палку колбасы можно нарезать не только перпендикулярно, но и под углом. В этом случае сечение получится в форме эллипса, но об этих фигурах мы пока подробно говорить не будем (см. рис. 15).

Сходство цилиндра с призмой

Не сложилось ли у вас ощущения, что все это вам уже знакомо? Два равных основания, высота, боковые «ребра», равные и параллельные друг другу? Где мы это уже видели? Конечно, в призме! И так же, как с цилиндром, призмы бывали прямые и наклонные (см. рис. 16).

Просто у призмы в основаниях – многоугольники, а у цилиндра – круги. Но ведь круг – это предельный случай многоугольника, а значит, многие факты и теоремы для цилиндра будут аналогичны тем, что были верны для призмы.

Разветвление: Задача

Задача

Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 20 см. Найти высоту цилиндра, радиус цилиндра, ось цилиндра и площадь основания цилиндра.

Решение

Одна из сторон осевого сечения – образующая (она же равна оси цилиндра и она же равна высоте). Значит, высота и ось равны 20 см. Далее, вторая сторона осевого сечения – диаметр основания. Он равен 20 см, значит, радиус – 10 см. Наконец, площадь основания ищется по формуле .

Заключение

На этом уроке мы узнали о цилиндрической поверхности, видах цилиндра, элементах цилиндра и сходстве цилиндра с призмой.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.

3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

Домашнее задание

1. Дайте определение цилиндра.

2. Дополните утверждение: «Осевым сечением цилиндра является…»

3. Изобразите цилиндр, на его боковой поверхности обозначьте точки  и . Постройте точку пересечения прямой с плоскостью нижнего основания цилиндра.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ped-kopilka.ru (Источник).

2. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).