01. Расстояние между точками
02. Расстояние от точки до прямой
03. Расстояние от точки до плоскости
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
05. Угол между скрещивающимися прямыми
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
10. Векторы. Решение задач
11. Векторы. Решение более сложных задач
12. Координаты. Решение задач
13. Координаты. Решение более сложных задач
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
15. Круглые тела. Сфера
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
17. Объёмы круглых тел
18. Решение задач на построение
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
23. Задачи на комбинации круглых тел
24. Экстремальные задачи
25. Два метода для скрещивающихся прямых
11. Векторы. Решение более сложных задач
Видео доступно по абонементу
Напоминание теории: пример из физики
Задача на углы и расстояния очень часто используется в разных экзаменах, зачаcтую это задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. В этих задачах хорошо использовать скалярное произведение векторов.
– рельсы, по которым движется тележка, – сила, действующая под углом к рельсам, сместила груз на расстояние (рис. 1)
Пример: посчитать, какую работу проделала сила.
Дано: вектор перемещения и вектор силы .
Решение: не вся сила проделала работу, а только ее часть – проекция на . Эту проекцию легко найти: катет . Он равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
, где – это угол между векторами.
Таким образом, работа .
Поэтому в математике ввели операцию скалярного умножения векторов
Напоминание теории: скалярное произведение, свойство скалярного произведения
Скалярным произведением двух векторов и называется: , где – угол между векторами (рис. 2).
Получившееся число характеризует взаимное расположение векторов.
Два ненулевых вектора перпендикулярны, когда (угол между векторами равен ).
Свойство 1: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (рис. 3).
Формула нахождения длины вектора: .
Формула нахождения угла между двумя векторами:
Решение первой части задачи, нахождение угла между векторами
Дано: – правильная треугольная призма; , .
Найти: , расстояние между прямыми и (рис. 4).
Решение
Призма, по условию, правильная, то есть такая, что в ее основании лежит равносторонний треугольник и боковые ребра перпендикулярны основанию.
1. Найдем .
Прямые и – скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).
1. Введем «удобную» тройку некомпланарных векторов. Таковой является тройка векторов, исходящих из вершины :
, ,
Видим, что .
, потому что ребра и перпендикулярны плоскостям и соответственно.
, потому что вектор принадлежит треугольнику в основании, который является правильным треугольником, следовательно, все его углы – .
2. Составим таблицу скалярных произведений:
Составим таблицу скалярных произведений:
| |||
3. Выразим векторы и через тройку некомпланарных векторов , , :
, .
4.
Вычислим числитель. Для этого раскроем скобки:
Получаем .
Ответ: .
Решение второй части задачи, нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
2. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми и .
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.
Вводим отрезок , это и есть общий перпендикуляр, и его концы лежат на прямых. Его длину и требуется найти.
1. , .
Каждое слагаемое выразим через тройку некомпланарных векторов.
Выразим вектор : векторы и коллинеарные, а значит, существует , такая, что . Векторы и также коллинеарные, а значит, существует , такое, что . (Рис. 5).
Выразим через две новые неизвестные и :
Получаем:
Раскрывая скобки и приведя подобные члены, выражаем вектор через векторы , и :
2. Вектор перпендикулярен вектору и вектору , а значит:
Подставим:
Раскроем скобки, используя таблицу скалярных произведений:
3. Зная и , мы можем найти :
4. Найдем длину :
По формуле .
С помощью таблицы скалярных произведений получаем:
Ответ: – искомое расстояние.
Повторение пройденного на уроке
Еще раз повторим схему решения:
Вводим перпендикуляр – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
Выражаем этот перпендикуляр через тройку некомпланарных векторов, при этом вводим два новых неизвестных параметра и , позволяющих зафиксировать точки и .
Находим выражение через и .
Находим и и выражаем через конкретные числа и находим как корень из скалярного квадрата, используя таблицу скалярных произведений.
Вывод
Мы рассмотрели векторный метод решения задач.
Список литературы
Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Стр. 116 № 441 (а, б), № 455 (а). (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)