11. Векторы. Решение более сложных задач

Напоминание теории: пример из физики

Задача на углы и расстояния очень часто используется в разных экзаменах, зачаcтую это задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. В этих задачах хорошо использовать скалярное произведение векторов.

 – рельсы, по которым движется тележка,  – сила, действующая под углом  к рельсам, сместила груз на расстояние (рис. 1)

Пример: посчитать, какую работу проделала сила.

Дано: вектор перемещения  и вектор силы .

Решение: не вся сила проделала работу, а только ее часть – проекция  на . Эту проекцию легко найти: катет . Он равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.

, где  – это угол между векторами.

Таким образом, работа .

Поэтому в математике ввели операцию скалярного умножения векторов

Напоминание теории: скалярное произведение, свойство скалярного произведения

Скалярным произведением двух векторов  и называется: , где  – угол между векторами (рис. 2).

Получившееся число характеризует взаимное расположение векторов.

Два ненулевых вектора перпендикулярны, когда  (угол между векторами равен ).

Свойство 1: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (рис. 3).

Формула нахождения длины вектора: .

Формула нахождения угла между двумя векторами:

Решение первой части задачи, нахождение угла между векторами

Дано:  – правильная треугольная призма; , .

Найти: , расстояние между прямыми и (рис. 4).

Решение

Призма, по условию, правильная, то есть такая, что в ее основании лежит равносторонний треугольник и боковые ребра перпендикулярны основанию.

1. Найдем .

Прямые и – скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).

1. Введем «удобную» тройку некомпланарных векторов. Таковой является тройка векторов, исходящих из вершины :

, ,

Видим, что .

, потому что ребра  и  перпендикулярны плоскостям и соответственно.

, потому что вектор принадлежит треугольнику в основании, который является правильным треугольником, следовательно, все его углы – .

2. Составим таблицу скалярных произведений:

Составим таблицу скалярных произведений:

3. Выразим векторы  и  через тройку некомпланарных векторов , , :

, .

4. 

Вычислим числитель. Для этого раскроем скобки:

Получаем .

Ответ: .

Решение второй части задачи, нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

2. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Вводим отрезок , это и есть общий перпендикуляр, и его концы лежат на прямых. Его длину и требуется найти.

1. , .

Каждое слагаемое выразим через тройку некомпланарных векторов.

Выразим вектор : векторы  и  коллинеарные, а значит, существует , такая, что . Векторы  и  также коллинеарные, а значит, существует , такое, что . (Рис. 5).

Выразим  через две новые неизвестные и :

Получаем:

Раскрывая скобки и приведя подобные члены, выражаем вектор  через векторы ,  и :

2. Вектор  перпендикулярен вектору  и вектору , а значит:

Подставим:

Раскроем скобки, используя таблицу скалярных произведений:

3. Зная  и , мы можем найти :

4. Найдем длину :

По формуле .

С помощью таблицы скалярных произведений получаем:

Ответ:  – искомое расстояние.

Повторение пройденного на уроке

 Еще раз повторим схему решения:

• Вводим перпендикуляр – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

• Выражаем этот перпендикуляр через тройку некомпланарных векторов, при этом вводим два новых неизвестных параметра и , позволяющих зафиксировать точки и .

• Находим выражение через и .

• Находим и  и выражаем через конкретные числа и находим как корень из скалярного квадрата, используя таблицу скалярных произведений.

Вывод

Мы рассмотрели векторный метод решения задач.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Multiring.ru (Источник).             

2. Multiring.ru (Источник).               

Домашнее задание

1. Стр. 116 № 441 (а, б), № 455 (а). (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)