09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы

Решение задачи №1

Дано:

 – наклонная призма ,  

Найти: угол между прямыми  и .

Решение.

Используем векторный метод. Для этого необходимо ввести тройку некомпланарных векторов. Пусть ; ; ,  (рис. 1).

, потому что соответствующие отрезки равны по длине.

По векторному методу необходимо через эту тройку векторов выразить остальные векторы, которые нужны для решения задачи: ; .

Тогда ;

Так как , , то , угол между прямыми  и  равен .

Ответ: .

Геометрические особенности скрещивающихся прямых

Геометрические особенности скрещивающихся прямых:

Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Теорема: пусть прямая  скрещивается с прямой  (рис. 2). Через первую прямую  можно провести единственную плоскость , которая параллельна второй прямой .

Аналогично, через прямую  можно провести единственную плоскость , которая параллельна прямой .

Таким образом, паре скрещивающихся прямых  и  соответствует пара параллельных плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между этими плоскостями.

Существует плоскость , которая перпендикулярна прямой . Построим такую плоскость (рис. 3).

Прямая  проектируется на плоскость  в точку , прямая  – в прямую . Тогда нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению расстояния от точки  до прямой .

 и  – скрещивающиеся; ; ; .

; . ; .

Может быть неудобно проводить плоскость перпендикулярную прямой. Иногда проще проводить плоскость перпендикулярную плоскости.

Пример

Дано две скрещивающиеся прямые. Им соответствуют две параллельные плоскости, каждая из которых проходит через одну из этих прямых.

Пусть построили плоскость , которая не перпендикулярна ни прямой , ни прямой , но перпендикулярна хотя бы одной из плоскостей. Например, плоскости . Значит, она будет перпендикулярна плоскости . Прямая  проектируется в прямую , прямая  – в прямую . Получим планиметрическую задачу. Нам не нужно строить общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым и искать его длину. Мы найдем расстояние между параллельными прямыми  и  (рис. 4).

 и  – скрещивающиеся; ;

;

; . .

; .

Решение задачи №2

Дано:

 – правильная треугольная призма; все ее ребра равны 1.

Найти: косинус угла между прямыми и .

Решение.

Рассмотрим чертеж (рис. 5). По условию, это правильная призма. Что означает, что в основании лежит правильный треугольник. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Есть прямые  и . Косинус угла между этими скрещивающимися прямыми и необходимо найти. Обозначим угол .

а)  (т. к. ).

Отдельно нарисуем треугольник, в котором необходимо найти величину угла  (рис. 6).

б)  (по условию).  – гипотенуза . Аналогично,  из .

в) проведем  – медиану, биссектрису, высоту (рис. 7).

;

.

Ответ: косинус угла между прямыми  и  равен .

Решение задачи №3

Дано:

 – правильная треугольная призма; все ее ребра равны 1 (рис. 8).

Найти: расстояние  между прямыми  и .

Решение.

 и  – скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между ними, используем метод перпендикулярной плоскости.

К прямой  все прямые ребра перпендикулярны.

а) пусть  и  – середины  и . Тогда  – гипотенуза, высота, биссектриса в равнобедренном . .

Значит,  – перпендикуляр к двум пересекающимся прямым. А значит, и ко всей плоскости . Это и есть плоскость . Кратко записывается так:

б) найдем проекции прямых на эту плоскость.

 (потому что  перпендикуляр к плоскости);

Спроектируем прямую  на плоскость . Точка  лежит в этой плоскости. Необходимо найти перпендикуляр от точки  к плоскости . Вспомним о наличии перпендикуляра  к этой плоскости.  – перпендикуляр к плоскости;  – проекция точки  на плоскость. Прямая  проектируется на плоскость  в прямую .

 (рис. 9.):

в) Теперь нужно найти расстояние от точки  к прямой .

Искомое расстояние  – это высота, опущенная из прямого угла в прямоугольном  (рис. 10):

 – высота в равностороннем .

;

;

;

.

Ответ: расстояние  между прямыми  и  равно .

Ход решения

1. Имеем две скрещивающиеся прямые. Находим плоскость, которая перпендикулярна первой прямой. Строим эту плоскость.  и  – середины прямых. .

2. Проектируем скрещивающиеся прямые на эту плоскость. Первая проекция – точка , вторая проекция – . Ее находим так: точка  лежит в плоскости, а проекция точки  на плоскость – точка  (,  – перпендикуляр к плоскости).

3. Находим расстояние от точки  до проекции . Вырисовываем для удобства эту плоскость  и находим расстояние .

Мы рассмотрели задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми треугольной призмы.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10–11 кл. – М.: Просвещение.

2. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10–11 класса. – М.: Просвещение, 1996.

3. В.И. Рыжик. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1999.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей \"Открытый урок\" (Источник).  

2. Фестиваль педагогических идей \"Открытый урок (Источник). 

3. Ege-ok.ru (Источник).

Домашнее задание

1. В правильной шестиугольной призме  все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки  до плоскости .

2. В правильном октаэдре  ( и  – несмежные вершины) точка  – середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми  и .