04. Практика. Векторы. Профильный уровень

Коллинеарность

Задача 1.

Дано:

— параллелепипед с прямоугольником в основании;

, — середины рёбер и .

Найти:

Все векторы, начало и конец которых — это вершины параллелепипеда и которые:

1) сонаправлены с вектором ;

2) противоположно направлены вектору ;

3) имеют длину, равную длине вектора .

Решение:

Найдём все векторы, начало и конец которых — это вершины параллелепипеда и которые сонаправлены с вектором  (рис. 1). Очевидно, только два отрезка, соединяющих вершины, параллельны EF. С учетом того, что направления векторов должны совпадать, мы получаем два вектора:  и .

;

.

Найдём векторы, противоположно направленные вектору  (рис. 2). Конечно, нас устроит вектор . Такая пара векторов, у которых поменялись начало и конец, всегда будут противоположно направлены. Так как искомые векторы должны быть параллельны АВ1, то лежать они должны либо в той же самой плоскости, либо быть ей параллельны.

Мы можем найти ещё только один такой вектор, .

;

.

Найдём все векторы, имеющие длину, равную длине вектора  (рис. 3). Теперь направление векторов нас не интересует. Находим все отрезки, равные А1С1. Очевидно, это всё диагонали прямоугольников, лежащих в основаниях. Причем нужно брать векторы в обоих направлениях. Тогда имеем следующий набор:

.

Может быть, какие-нибудь рёбра или диагонали граней или самого параллелепипеда тоже равны отрезку , но из условия задачи мы этого не знаем.

Задача 2.
Дана правильная пирамида. Точка — середина ребра . Какие из выделенных векторов коллинеарны? (рис. 4)

Решение:

Рассмотрим вектор . Так как пирамида правильная, в основании квадрат, т. е. точка О — середина АС. Точка Е — середина МС. Тогда ОЕ — средняя линия треугольника АМС. Тогда ОЕ || АМ, а векторы  и  коллинеарны.

Отрезок выглядит параллельным . Но так ли это? Если бы и были параллельны, то они задавали бы плоскость. В этой плоскости лежали бы они сами и отрезки и , а следовательно, и и . Но и скрещивающиеся, значит не могут лежать в одной плоскости. Таким образом, и не параллельные, а тоже скрещивающиеся, и соответствующие им векторы не коллинеарны.

Понятно, что тогда не коллинеарны и векторы  и .

Задача 3.
Найти значения параметров m и n, при которых векторы будут коллинеарны и .

Решение:

Условие коллинеарности векторов — это пропорциональность их координат:

;

;

.

Ответ: ,.

Сложение векторов и умножение вектора на число

Рассмотрим задачи, в которых встречается сумма векторов или умножение векторов на число.

Задача 4.

Дано:  — параллелепипед (рис. 5).

Найти: .

Решение:

При сложении векторов мы можем любой представитель вектора заменять на другой. То есть сонаправленные отрезки равной длины взаимозаменяемы. Кроме того, как и в сумме чисел, мы можем слагаемые менять местами так, как нам удобно.

Векторы  и  имеют равную длину и противоположно направлены. Т. е. это противоположные векторы. Их сумма равна нуль-вектору:

;

;

.

Таким образом, наша сумма упростилась до выражения . Совместим начало одного вектора с концом другого. Для этого заменим на  на  (рис. 6).

По правилу треугольника сумма этих векторов равна  (рис. 7):

Мы могли совместить векторы иначе, а именно  заменить на . Тогда в качестве их суммы мы бы получили вектор  (рис. 8)

Но он равен вектору .

Задача 5.

Дано:

— пирамида;

— прямоугольник;

;

.

Найти: (рис. 9).

Решение:

Воспользуемся снова перестановочным свойством сложения. Векторы  и  имеют общее начало, поэтому с ними удобнее сделать необходимые операции. Итак, перепишем выражение .

Чтобы получить разность двух векторов, имеющих общее начало, соединяем их концы и направляем вектор к уменьшаемому. То есть разность этих векторов равна  (рис. 10): .

Проверить себя легко. Векторы  и  в сумме дают .

Итак, наше выражение упростилось до такого:. Но сумму этих векторов мы можем сразу найти по правилу параллелограмма (рис. 11).

.

Найдём его длину по теореме Пифагора:
.

Задача 6.

Дан тетраэдр . Построить вектор  (рис. 12).

Решение:

Построим вектор . Он имеет то же направление, что и вектор , но в 1,5 раза длиннее (рис. 13).

Построим вектор  (рис. 14).

Осталось сложить векторы  и . По правилу параллелограмма строим результат, вектор  (рис. 15).

Нужно понимать, что вектор  лежит в плоскости задней грани, так как оба вектора слагаемых лежат в ней же.

Задача 7.

Три вектора заданы своими координатами ,,. Найти координаты вектора .

Решение:

Чтобы получить первую координату вектора , складываем первые координаты всех слагаемых векторов, предварительно умножив их на коэффициент перед вектором, аналогично поступаем с остальными координатами:

Ответ:

Сейчас мы рассмотрим ещё одну, более сложную задачу. Изучение её решения обязательно для учеников профильного уровня, для остальных — по желанию.

Задача с использованием координат вектора

В кубе рёбра равны . На продолжении отрезка за точку отмечена точка так, что , а на продолжении отрезка за точку отмечена точка так, что (рис. 16).

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние между прямыми и .

Решение:

А) Введём систему координат с началом в вершине . Рёбра, выходящие из этой вершины, расположим на координатных осях (рис. 17).

Чтобы доказать равенство отрезков, Найдём длины соответствующих векторов.

Выпишем координаты нужных нам точек: , , . Найдём координаты вектора : . Длина вектора: .

Аналогично найдём координаты и длину вектора . .

Таким образом, .

б) Теперь нам надо найти расстояние между прямыми и .

Вспомним один из способов нахождения расстояния между прямыми. Если одна из прямых перпендикулярна некой плоскости, а для второй построена проекция на эту плоскость, то задача сводится к планиметрической — можно рассматривать только эту плоскость. Нужно найти расстояние от точки пересечения первой прямой с плоскостью до проекции второй прямой (рис. 18).

Легко видеть, что перпендикулярна плоскости задней грани куба и пересекает ее в точке (рис. 19).

Проекцией на эту плоскость , является отрезок . Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки до . Это расстояние равно длине высоты, проведённой из вершины треугольника  (рис. 20).

Данный треугольник является прямоугольным, а его катеты равны и . Тогда его гипотенуза по теореме Пифагора равна . Произведение катетов равно произведению высоты на гипотенузу (вспомните, почему): . Тогда искомая высота равна .

Это и есть искомое расстояние между прямыми.

Разложение вектора по трём векторам

Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием разложения вектора по трём векторам.

Задача 8. 

В параллелепипеде три ребра с общей вершиной приняты за векторы ,,. Точка — центр правой грани. Разложить вектор по векторам ,, (рис. 21).

Решение:

Для начала запишем, что  (рис. 22).

Займемся теперь вектором . . При этом вектор  (рис. 23).

Но эти два вектора равны базисным. . Таким образом:

.

Задача 9.

Три вектора заданы своими координатами ,,. Разложить по этим векторам вектор .

Решение:

Разложение имеет вид: .

Это выражение называется линейной комбинацией трёх векторов ,,, и она тоже представляет собой вектор. Найдём координаты этой линейной комбинации: x

Вектор  должен быть равен этой линейной комбинации, а значит должны быть равны их координаты. Получаем систему уравнений:

Выразим из третьего уравнения и подставим в первые два:

Упростим:

Выразим из второго уравнения у и подставим в третье:

Найдём х в третьем уравнении и подставим в остальные уравнения:

Таким образом мы нашли коэффициенты разложения

Следует отметить, что процедура разложения по единичным векторам совершенно тривиальна и не требует решения никаких систем. Разложим наш вектор по трем единичным векторам: .

Легко видеть, чему должны быть равны параметры ,, — координатам вектора .

То есть коэффициенты разложения вектора по единичным векторам — это и есть его координаты.

Скалярное произведение векторов, угол между векторами

Рассмотрим теперь задачи, решение которых связано со скалярным произведением векторов.

Задача 10.

Найти угол между векторами  и .

Решение:

Скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними:

Тогда:

Эта формула и используется для нахождения углов между векторами.

Найдём косинус угла между векторами:

Тот факт, что косинус отрицательный, означает, что угол тупой.

На калькуляторе или в электронных таблицах можно вычислить арккосинус этого значения, т. е. найти приближенное значение угла:

Задача 11.

Дан куб . Найти углы между прямыми ,, (рис. 24).

Решение:

Введём систему координат. Совместим вершину с началом отсчета. Примем длину ребра куба за единицу (рис. 25).

Если вектор лежит на прямой или параллелен ей, то его называют направляющим вектором прямой.

Угол между двумя прямыми равен углу между направляющими векторами с учётом, что угол между прямыми не больше . Т. е. если угол между направляющими векторами тупой, то за угол между прямыми принимается дополнительный до угол.

Рассмотрим направляющие векторы указанных прямых и найдём их координаты: ,.

Найдём косинус угла между ,:

 — угол между прямыми.

Найдём косинус угла между , :

 — угол между прямыми.

Найдём косинус угла γ между и  :

Косинус получился отрицательным. Это означает, что угол между направляющими векторами тупой. Но за угол между прямыми принимается острый угол, который соответствует арккосинусу противоположного, т. е. положительного значения.

 – угол между прямыми.

Могли ли мы решить эту задачу без использования векторов? Да. Стандартный подход —рассмотреть треугольники, куда входят искомые углы и попробовать найти их.

В данной задаче трудозатраты были бы примерно такими же.

Сейчас мы рассмотрим ещё одну, более сложную задачу. Изучение её решения обязательно для учеников профильного уровня, для остальных — по желанию.

Задача с использованием скалярного произведения векторов

Дана правильная треугольная призма со стороной основания и высотой . Найти угол между скрещивающимися диагоналями боковых граней (рис. 26).

Решение:

Введём прямоугольную систему координат (рис. 27). Будем искать угол между векторами  и .

Найдём координаты связанных с ними точек. Для этого рассмотрим отдельно треугольник (рис. 28).

Ордината точки равна половине длины , то есть . Абсцисса точки равна высоте треугольника, то есть .

Тогда получаем координаты четырех точек: , (,,.

Найдём координаты векторов совпадают с координатами точки ; .

Найдём косинус угла между векторами:

Следовательно, .

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А. Г., Смирнова И. М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».

3. Погорелов А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Интернет-портал webmath.ru.

Рекомендованное домашнее задание

1. В правильной четырехугольной пирамиде все рёбра равны . Найдите:

а) ;

б) .

1. Даны три неколлинеарных вектора ,,. Найдите значение k при котором векторы  и  коллинеарны.

2. Куб  помещен в прямоугольную систему координат (рис. 29). . Найдите координаты векторов ,,и разложите их по координатным векторам ,,.