02. Простейшие задачи в координатах

Введение

Мы уже ввели понятие системы координат в пространстве, а также задали основные связанные с ней термины. Рассмотрим простейшие, базовые задачи в координатах, на которых в дальнейшем будет строиться решение большинства задач.

Задача. Нахождение координат середины отрезка

Дано: ; ,  – се­ре­ди­на . Найти: .

Ре­ше­ние: Обо­зна­чим в про­стран­стве точки ,  и  – се­ре­ди­ну от­рез­ка . (См. Рис. 1.)

Век­тор  яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной суммы век­то­ров  и , по­то­му что  – это по­ло­ви­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах  и . (См. Рис. 2.)

Так как  и  , и  (по правилу параллелограмма), то значит:

Осталось заметить, что координаты точки  совпадают с координатами вектора , так как  – начало координат. То есть .

Таким образом, координаты середины отрезка есть полусуммы соответствующих координат его концов.

Можно было действовать и иначе: . Координаты вектора  мы знаем, значит, можем найти координаты вектора , а отсюда, зная координаты начала этого вектора , находим координаты конца – .

Ответ: .

Задача. Координаты точки на отрезке

Пусть даны две точки: ; , точка  делит отрезок  в отношении  от вершины . Найти: . (См. Рис. 3.)

Решение

Если , то мы получаем тот самый случай, который мы уже разобрали, то есть деление в отношении  или середину отрезка.

Как мы будем находить координаты точки ? Заметим, что векторы  и  сонаправлены. Значит, они отличаются в константу раз, причем эту константу мы знаем. Ведь на весь отрезок  приходится  частей, а на отрезок  –  частей.

Значит, вектор .

Так как , то .

Но тогда координаты точки  находятся как сумма соответствующих координат вектора  и точки . Найдем абсциссу, остальное – аналогично.

.

Значит,  имеет координаты:

; ; ;

Разберем пример: , . Найти координаты точки , если . (См. Рис. 4.)

Решение: по нашим формулам: ; .

Ответ: .

Задача. Длина вектора

Пусть дан век­тор . Тогда: .

Доказательство

Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями ,  и . (См. Рис. 5.)

Тогда вектор , так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)

Значит, , где  – диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству): , что и требовалось доказать.

Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания ) и затем для треугольника . (См. Рис. 7.)

Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ; , то . Тогда получим, что .

Задачи на использования выведенных формул

Задача 1. Найти длину медианы  треугольника , где , , .

Решение. Найдем координаты точки  – середины отрезка . По формуле нахождения координат середины отрезка  получаем, что .

По формуле нахождения длины вектора  получаем, что .

Ответ: .

Задача 2. Определите вид треугольника  и найдите его периметр, если , , .

Решение. По формуле , найдем длины ,  и :

;

.

Значит, треугольник равнобедренный, т. к. .

.

Тогда периметр .

Ответ: треугольник равнобедренный; . 

Заключение

На этом уроке были разобраны три классические задачи координатного метода в стереометрии: мы научились находить координаты середины отрезка по координатам его концов: , длину вектора и, как следствие, длину любого отрезка: .

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

Домашнее задание

1. Найти координаты точки , если известны координаты точки , середины отрезка  и точки .

2. Вычислить длину вектора , если даны точки  и .

3. Вычислить длину вектора , если ; ; .