04. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Рассмотрим задачу на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Пусть нам дан куб , ребро которого равно единице . Нужно найти расстояние между прямыми и

Эти две прямые лежат в параллельных плоскостях: лежит в плоскости лежит в плоскости . Найдем сначала перпендикуляр к этим двум плоскостям. Таких перпендикуляров на рисунке много. Это отрезок и . Из них имеет смысл выбрать тот отрезок, который не только перпендикулярен этим плоскостям, а значит перпендикулярен и нашим прямым и , но и проходит через эти прямые. Такой отрезок –. Он одновременно перпендикулярен прямой АВ, потому что перпендикулярен плоскости и прямой, потому что перпендикулярен плоскости . И значит, что – это общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым и. Расстояние между этими прямыми – длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка . Но – это ребро куба. Следовательно, расстояние равно :

Рассмотрим ещё одну задачу, чуть более сложную, о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть нам дан опять куб, ребро которого равно единице. Нужно найти расстояние между диагоналями противоположных граней. То есть, дан куб . Ребро . Нужно найти расстояние между прямыми и – ?

Эти две прямые скрещивающиеся, значит, расстояние – это длина общего перпендикуляра. Можно не рисовать общий перпендикуляр, а сформулировать следующим образом: это длина перпендикуляра между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Прямая лежит в плоскости , а прямая лежит в плоскости. Они параллельны, значит, расстояние между ними и есть расстояние между этими прямыми. А расстояние между гранями куба – это длина ребра. Например, длина ребра . Потому что перпендикулярно и плоскости , и плоскости . Значит, расстояние между прямыми, данными в условии, равно расстоянию между параллельными плоскостями и равно :

Рассмотрим ещё одну задачу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть у нас дана правильная треугольная призма, у которой известны все ребра. Нужно найти расстояние между ребрами верхнего и нижнего оснований. То есть нам дана призма . Причем, . Нужно найти расстояние между прямыми и

Поскольку эти прямые скрещиваются, то расстояние между ними – это длина общего перпендикуляра, или длина перпендикуляра к параллельным плоскостям, в которых они лежат. Найдем эти параллельные плоскости.

Прямая лежит в плоскости , а прямая лежит в плоскости . Эти две плоскости параллельны, поскольку это верхнее и нижнее основания призмы. Значит, расстояние между нашими прямыми – это расстояние между этими параллельными плоскостями. А расстояние между ними равно в точности длине бокового ребра , то есть равно :

В данной конкретной задаче можно найти не только длину общего перпендикуляра, но и построить его. Для этого мы из всех боковых рёбер выбираем такое, которое имеет общие точки с прямой и . На нашем рисунке это ребро . Оно будет перпендикулярно прямой , поскольку перпендикулярно плоскости верхнего основания, и прямой , поскольку перпендикулярно плоскости нижнего основания. Таким образом, мы можем найти не только расстояние, но и построить этот общий перпендикуляр.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить длину общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми.