01. Расстояние между точками
10 мин
02. Расстояние от точки до прямой
8 мин
03. Расстояние от точки до плоскости
10 мин
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
6 мин
05. Угол между скрещивающимися прямыми
5 мин
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
21 мин
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
14 мин
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
16 мин
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
19 мин
10. Векторы. Решение задач
22 мин
11. Векторы. Решение более сложных задач
22 мин
12. Координаты. Решение задач
22 мин
13. Координаты. Решение более сложных задач
23 мин
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
12 мин
15. Круглые тела. Сфера
14 мин
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
16 мин
17. Объёмы круглых тел
14 мин
18. Решение задач на построение
18 мин
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
15 мин
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
39 мин
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
16 мин
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
14 мин
23. Задачи на комбинации круглых тел
9 мин
24. Экстремальные задачи
16 мин
25. Два метода для скрещивающихся прямых
21 мин
Видео доступно по абонементу
В правильном тетраэдре (рис. 1), длина ребра которого – , точка делит пополам, а точкаделит пополам. Найти расстояние между точкамии .
Дано:
Найти:
Решение:
Расстояние между точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки, поэтому нам нужно найти длину отрезка . Для этого отрезок (чтобы вычислить его по теореме Пифагора) удобно поместить в прямоугольный треугольник.
1. Опускаем из точки перпендикуляр на плоскость (). Так как проектируется на плоскость в , то точкапроектируется в точку, которая принадлежит отрезку (). Точка – середина , поэтому точка – середина .
Нам дан правильный тетраэдр, следовательно, в основании лежит правильный треугольник, а вершина проектируется в центр треугольника (т. ), который является точкой пересечения медиан и делит медиану в отношении , считая от вершины. Учитывая это, получаем:
Следовательно:
2. Мы создали прямоугольный треугольник , из которого найдём гипотенузу . Для этого с помощью равностороннего треугольника найдём катет .
, где – высота,
найдём из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Так как тетраэдр правильный, то
.
Так как, то
3. Подставим значение и в формулу теоремы Пифагора и найдём искомый отрезок :
Этот отрезок можно было найти другим способом. – общий перпендикуляр к прямым и , поэтому треугольник – прямоугольный (), из этого треугольника найти проще, но потребовалось бы доказательство, что и , что гораздо сложнее, чем создать прямоугольный треугольник.
Ответ:
В основании прямой четырёхугольной призмы лежит ромб, острый угол которого равен . Боковое ребро призмы равно , а большая диагональ – . Найти расстояние между смежными вершинами ромба.
Дано: ; ; (рис. 2)
Найти:
Решение:
является большей диагональю призмы, так как проекция этой диагонали на плоскость основания – диагональ – является большей диагональю ромба (лежит против угла , а – против угла ).
2. Расстояние между точками и – это длина отрезка . Обозначим:
3. Вычислим длину диагонали ромба :. Отрезок найдём из прямоугольного треугольника :
(диагональ ромба делит угол при вершине пополам)
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём
, , . Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:
Ответ:
В правильной треугольной призме , (рис. 3) длина бокового ребра , а сторона основания . Точка делит сторону , верхнего основания пополам. Найти расстояние между точками и .
Дано:
Найти:
Решение:
Нам следует найти длину отрезка , для этого опустим перпендикуляр из точки на плоскость основания (). Так как точка – середина , то точка – середина . Мы получили прямоугольный треугольник , в котором является гипотенузой. В этом треугольнике катет (так как ), а катет найдём из треугольника .
– высота , следовательно:
Запишем для теорему Пифагора и подставим известные значения:
Ответ:
На данном уроке мы повторили, как находится расстояние между точками в пространстве.
Список литературы
Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. В правильной шестиугольной призме
все ребра равны . Найдите расстояние между точками и .
2. В правильной треугольной пирамиде (рис. 4), – середина ребра – вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности равна . Найдите длину отрезка .
3. Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда
(рис. 5), для которого , , .
"