03. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть нам дана правильная треугольная призма . В основании лежит правильный треугольник , сторона которого равна , а боковое ребро призмы тоже равно . Нужно найти расстояние от точки В до плоскости : – ?

Возьмём точку – середина отрезка . Поскольку треугольник является равносторонним, то – это медиана, она же и высота в этом треугольнике. Выясним, что это за отрезок , который мы построили. Во-первых, он перпендикулярен , поскольку это высота. Кроме того, лежит в плоскости нижнего основания, и значит, перпендикулярен прямой . Поскольку перпендикулярна всей плоскости , а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой . Таким образом, перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости . Значит, . То есть расстояние от точки В до плоскости есть длина отрезка .

После того как мы его построили, найдём длину этого отрезка. Для этого рассмотрим треугольник . Он равносторонний, значит, . И в треугольнике по теореме Пифагора мы можем найти :

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть нам дан тетраэдр, в котором все ребра равны , и проведено сечение. Нужно найти расстояние от вершины тетраэдра до плоскости сечения. То есть нам дан тетраэдр . Причём все ребра равны : . На ребре взяли точку– середину этого ребра. Требуется найти расстояние от точки до плоскости – ?

Рассмотрим сначала треугольник . Он равносторонний, поэтому , которая является медианой, будет являться и высотой. Значит, . Аналогично в треугольнике – медиана является высотой. Значит, . Таким образом, получили, что прямая , то есть перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости . Следовательно, прямая перпендикулярна и самой плоскости . Значит, – это перпендикуляр на плоскость . А расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из точки, в данном случае из точки , на нашу плоскость, в данном случае . Таким образом, расстояние, которое нам надо найти – это длина отрезка . Но – это половина ребра, то есть :

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида . В основании её лежит квадрат со стороной , и боковые ребра тоже равны . Нужно найти расстояние от точки до плоскости , где – середина ребра – ?

Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы должны из точки опустить перпендикуляр на плоскость . Этот перпендикуляр будет лежать в плоскости, перпендикулярной плоскости сечения. Такая плоскость у нас есть, это плоскость . Она перпендикулярна плоскости , поскольку перпендикулярна и . – линия пересечения этих двух плоскостей. Значит, перпендикуляр, опущенный из точки В на плоскость , попадёт на отрезок . При этом я не знаю о том, попадет ли он внутрь этого отрезка или попадёт на прямую. Но меня это и не интересует, потому что мне нужно найти длину отрезка, то есть длину перпендикуляра. Таким образом, наша задача свелась совсем к другой. Мне нужно найти расстояние от точки В до прямой . Для этого посчитаем элементы в этой пирамиде.

– это половина диагонали квадрата .

– высота пирамиды – находится из теоремы Пифагора:

Отрезок , который параллелен , это есть половина , поскольку отсекает равные отрезки на ребра и

– половина отрезка, то есть:

И можем найти отрезок из прямоугольного треугольника . По теореме Пифагора

После того как мы нашли все эти отрезки, мы можем написать формулу для нахождения площади треугольника .

Подставив найденные нами числа, мы получим уравнение, в которое входит только – перпендикуляр к прямой :

Мы решили эту задачу, будто у нас была произвольная четырехугольная правильная пирамида. Такое решение вполне допустимо. То есть вполне допустимо искать вместо расстояния от точки до плоскости расстояние от точки до прямой, которая является линией пересечения.

Но в данной конкретной задаче можно было сделать всё гораздо проще. Если заметить, что треугольник равносторонний, значит, – не только медиана, но и высота, и – не только медиана треугольника , но и высота. И значит, будет перпендикулярна плоскости . А значит, расстояние от точки до плоскости – это длина отрезка , то есть половина бокового ребра, то есть . И получается, что на нашем рисунке точка совпадает с точкой.

Сегодня на уроке мы решили несколько задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.