02. Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть дана правильная треугольная призма . В основании лежит правильный треугольник , сторона которого равна , а боковое ребро призмы тоже равно : . Требуется найти расстояние от точки до прямой : – ?

Возьмем точку – середину ребра . Рассмотрим треугольник – он равнобедренный, поскольку отрезки и – диагонали квадратов и . Квадраты равны, значит, диагонали у них равны, следовательно, треугольник – равнобедренный. Значит является не только медианой, но и высотой в этом треугольнике.

Поскольку расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, следовательно, расстояние, которое нас спрашивают – это длина отрезка .

Для того чтобы его найти рассмотрим треугольник – он прямоугольный, значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого сначала найдем гипотенузу – это диагональ квадрата и равна:

– это половина ребра и равно:

Осталось написать теорему Пифагора и найти катет :

Рассмотрим еще одну задачу.

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида , у которой сторона основания равна и боковое ребро тоже равно : . Нужно найти расстояние от точки до ребра : – ?

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Рассмотрим плоскость и опустим в этом треугольнике перпендикуляр . Мы не знаем, куда попадет точка , то есть где находится основание перпендикуляра. Но у нас это и не спрашивают. Нас только спрашивают длину отрезка . Поэтому мы можем не выяснять место положение точки , а поступить следующим образом.

Найдем сначала все нужные нам элементы в треугольнике :

нам даны,

– диагональ квадрата, лежащего в основании:

Рассмотрим треугольник . В нем – это половина диагонали квадрата:

– высота пирамиды по теореме Пифагора будет:

Теперь можно рассмотреть треугольник . Запишем его площадь двумя способами. С одной стороны – это полу произведение основания на высоту . А с другой стороны – это полу произведение основания на высоту . Если в это равенство подставим все известные нам величины, а именно: , и , то мы получим уравнение, в котором нам не известно только :

Если бы нас спросили место положение точки , то теперь мы можем легко ответить на этот вопрос, поскольку мы знаем и и , и могли бы найти по теореме Пифагора. Но поскольку нас спрашивают только расстояние, то оно равно . 

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение расстояния от точки до прямой.

Пусть нам дан куб , ребро которого равно . . Нужно найти расстояние от вершины нижнего основания до диагонали куба: – ?

Поскольку расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , то мы составим треугольник и перпендикуляр . Мы не знаем, где находится точка , зато мы можем определить вид треугольника . Прямая перпендикулярна плоскости и значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности и прямой . Следовательно, треугольник – прямоугольный и угол . Найдем элементы этого треугольника. – диагональ квадрата, нам известна, а гипотенуза находится по теореме Пифагора:

Теперь запишем площадь этого треугольника двумя способами: как полу произведение катетов и как половина произведения гипотенузы на высоту:

Получаем равенство, и если мы в это равенство подставим известные нам величины, то получим уравнение, в котором мы не знаем только ВК.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить расстояние от точки до прямой, расположенных в пространстве.