07. Решение задач на объём пирамиды и конуса

Введение

Вспомним, что объем пирамиды, как и объем конуса, находятся по формуле , где  – площадь основания,  – высота. Разумеется, в случае конуса площадь основания можно подставить: . Теперь перейдем непосредственно к задачам.

Пример 1

В правильной треугольной пирамиде  с вершиной  биссектрисы  пересекаются в точке , , . Найдите длину отрезка . (См. Рис. 1.)

Решение. Так как пирамида правильная, то точка  будет проектироваться в центр треугольника , то есть в точку  (точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника и есть его центр). Значит, найти надо высоту пирамиды. Мы знаем, что , откуда .

Ответ: .

Пример 2

От треугольной пирамиды  отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды  и среднюю линию основания . Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды , если . (См. Рис. 2.)

Решение. Проблема здесь в том, что найти площадь основания и высоту нельзя. Но это и не нужно. Запишем два равенства  и  . Заметим, что раз вершина и плоскость основания у новой пирамиды те же, то и высота та же. (См. Рис. 3.)

То есть чтобы посчитать объем необходимо знать, во сколько раз площадь основания новой пирамиды меньше площади основания исходной. , т. к.  с коэффициентом подобия . Тогда .

Ответ: .

Пример 3

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра , если все его ребра увеличить в два раза ? (См. Рис. 4.)

Решение. Заметим, что в этом случае площадь основания увеличится в  раза, т. к. исходную сторону  увеличили в  раза и получили треугольник со стороной . (См. Рис. 5.). То есть .

Высота тетраэдра также увеличится в  раза. Доказать это можно так: опустим высоту и рассмотрим прямоугольный : в нем гипотенуза увеличилась вдвое и катет тоже как радиус описанной окружности около основания. Значит, треугольник перейдет в подобный с коэффициентом . (См. Рис. 6.) То есть .

. Раз площадь увеличилась в  раза, а высота – в , то объем увеличится в  раз .

Ответ: в  раз.

Пример 4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половины высоты . Объем налитой жидкости  мл. Сколько миллилитров жидкости  нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? (См. Рис. 7.)

Решение. Сначала найдем объем всего сосуда (в миллилитрах). . Объем маленького конуса , тогда искомый объем .

Заметим, что  с коэффициентом подобия , т. к. , значит,  и .

Получаем, что  и , то есть объем большого конуса в  раз больше объема маленького, заполненного жидкостью.

Тогда объем всего сосуда , а значит, долить надо .

Ответ: .

Замечание. Из двух последних примеров можно сделать вывод, что если мы пропорционально увеличим фигуру в  раз, то объем увеличится в  раз.

Пример 5

Найдите объем  конуса (См. Рис. 8.), если образующая  и наклонена к плоскости основания под углом . В ответе укажите  .

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса . Нам известно, что ; Тогда из прямоугольного : ;  (как катет, лежащий напротив угла ). (См. Рис. 9.)

Тогда .

Для записи в ответ .

Ответ: .

Метод объемов в пространстве

Этот метод похож на метод площадей на плоскости. Кратко о сути метода площадей: считаем площадь двумя способами и приравниваем. Например, как найти высоту прямоугольного треугольника со сторонами ,  и , опущенную на гипотенузу? (См. Рис. 10.)

Считаем площадь. С одной стороны , а с другой стороны . Отсюда .

То же самое и с объемами: считаем объем двумя способами и находим неизвестную величину.

Пример. Дана правильная треугольная пирамида , сторона основания , а боковое ребро . (См. Рис. 11.) Найти расстояние  от точки  до плоскости .

Решение. Эту задачу можно решить и «в лоб». Но мы решим так. Заметим, что . Найдем площадь основания . Теперь найдем высоту . Рассмотрим прямоугольный .  – радиус описанной около основания окружности, он равен . (См. Рис. 12.)

Тогда по теореме Пифагора .

Получаем, что .

С другой стороны, . (См. Рис. 13.)

Тогда . Найдем . Рассмотрим равнобедренный . Опускаем в нем перпендикуляр на основание и получаем два прямоугольных треугольника с катетом  и гипотенузой . Тогда из египетского треугольника получаем, что высота равна . (См. Рис. 14.)

Тогда .

Окончательно: .

Ответ: .

Заключение

Сегодня был решен ряд задач на объемы пирамиды и конуса, мы посмотрели, как работают формулы, выведенные на предыдущем уроке.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematikalegko.ru (Источник).

2. Matematikalegko.ru (Источник).

3. Matematikalegko.ru (Источник).

Домашнее задание

1. В основании конуса проведена хорда, которая равна радиусу основания и удалена от центра основания конуса на . Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол . Найдите объем конуса.

2. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол .

3. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны и , а острый угол боковой грани равен . Найдите объем усеченной пирамиды.