10. Решение задач на объём шара и его частей

Повторение

Рассмотрим решение различных задач на объем шара и его частей. Напомним формулу объема шара:

, а также объема сегмента: 

. (См. Рис. 1.)

На самом деле формулу объема сегмента помнить не обязательно, т. к. ее можно выводить с помощью интеграла, если вы помните.

Задача 1

Диаметр Луны составляет приблизительно четверть диаметра Земли. Какую часть объема Земли составляет объем Луны, если считать их шарами? (См. Рис. 2.)

Решение. Раз диаметры отличаются в  раза, то и радиусы в  раза, то есть  (см. Рис. 3).

Мы увидели, что если измерения некоторой фигуры изменить в  раз, то объем данной фигуры изменится в  раз. В данном случае измерение увеличили в  раза, значит, объем увеличился в  раза.

Ответ: 

.

Задача 2

Во сколько раз увеличится масса металлического шарика, если увеличить его радиус в два раза? Предполагается, что оба шарика сплошные и состоят из одинакового материала.

Решение

По определению , тогда .

Раз материалы одинаковые (плотности шаров равны), то  . При этом , а тогда по формуле . То есть , а значит, и массы отличаются в  раз.

Ответ: в  раз.

Важное следствие: если измерения фигур изменить в  раз, то не только объем, а и масса данной фигуры изменится в  раз при условии, что объекты однородны и состоят из одного и того же самого материала.

Задача 3

Радиусы трех сплошных металлических шариков равны ,  и  см соответственно. Эти шарики расплавили и из получившегося металла отлили новый сплошной шар. Чему будет равен его радиус? (См. Рис. 5.)

Решение. Раз масса не изменилась, а плотность одинаковая, то . Сокращаем на  и получаем, что объем нового шара будет равен сумме объемов исходных. Имеем: 

Сократим на  :

Ответ:

Задача 4

Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания  м и высотой  см? (См. Рис. 6.)

Решение

Как мы знаем, по формуле:

Найдем радиус шара. Пусть он равен . Тогда имеем прямоугольный треугольник ( – центр шара,  – центр сечения,  – точка на границе сечения),, ; . (См. Рис. 7.)

По теореме Пифагора:

Осталось подставить это в формулу:

.

Ответ:.

Задача 5

Найти радиус шара, если известно, что его объем равен объему цилиндра с осевым сечением, имеющим форму квадрата со стороной .

Решение. Рассмотрим цилиндр из условия.

(см. Рис. 9).

С другой стороны, 

.

Приравнивая, имеем:

Ответ: 

.

Заключение

Сегодня мы решили ряд задач, которые используют формулы объема шара и объем сегмента, увидели, как эти формулы работают на практике, и выяснили связь между объемом и массой.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт fxyz.ru (Источник).

2. Интернет-сайт «Математика? Легко!».

Домашнее задание

1. Шар радиуса  пересечен плоскостью на расстоянии  от центра. Найдите площадь сечения.

2. Металлический шар радиуса  переплавили в конус, высота которого – . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.

3. Радиусы трех шаров равны , . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.