19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Если прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости  (рис.1), то она перпендикулярна самой плоскости , а значит, перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Частный случай перпендикулярности прямой и плоскости

Плоскость  перпендикулярна плоскости .  – линия пересечения плоскостей (рис. 2).

Если прямая ()  перпендикулярна прямой пересечения плоскостей  и , то она перпендикулярна всей плоскости , а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

С помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости доказывается теорема о трех перпендикулярах.

Если наклонная перпендикулярна прямой  из плоскости , то и ее проекция перпендикулярна этой прямой.

И обратно: если проекция наклонной перпендикулярна прямой  из плоскости , то и наклонная перпендикулярна к этой прямой.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая  (рис. 3) тогда и только тогда, когда ее проекция .

Вместо прямой  можно взять любую другую прямую  из плоскости , которая параллельна прямой .

Любая наклонная имеет лишь одну проекцию: наклонная имеет лишь одну проекцию . Но наклонная тоже имеет проекцию . Если ,  то , , то есть плоскость .

Таков смысл теоремы о трех перпендикулярах.

Признак перпендикулярности плоскостей

Есть прямая , перпендикулярна плоскости . Через прямую  проходят плоскости  и  (и много других плоскостей).

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

Построение линейного угла двугранного угла (общий случай)

Дано: двугранный угол, плоскость , плоскость ,  – линия пересечения плоскостей

Построить линейный угол угла .

Решение

Выбираем удобную точку  на ребре двугранного угла. Проводим перпендикуляр  к ребру в плоскости , получаем прямую . Проводим перпендикуляр к ребру  в плоскости , получаем прямую . Угол  – искомый.

, ;

, ;

;

;

.

Таким образом, мы построили линейный угол двугранного угла.

Свойства плоскости линейного угла

Плоскость  линейного угла  (рис. 6) перпендикулярна всем элементам двугранного угла .

Плоскость двугранного угла  перпендикулярна ребру двугранного угла  и перпендикулярна граням двугранного угла  и , так как прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  из плоскости : , так как .

Плоскость  перпендикулярна плоскости , так как плоскость  проходит через перпендикуляр  к плоскости : , так как .

Плоскость  перпендикулярна плоскости , так как плоскость  проходит через перпендикуляр  к плоскости : , так как .

Мы доказали, что плоскость двугранного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла.

Далее рассмотрим задачи на построение углов в правильной треугольной пирамиде.

Задача 1. Построение линейного угла при основании правильной треугольной пирамиды

Построить линейный угол при основании правильной треугольной пирамиды .

Построение

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник, а ее вершина проецируется в центр треугольника (центр описанной и вписанной окружности).

Одно из свойств правильной пирамиды – ее боковые ребра равны.

Пусть , . Точка  – середина ребра .

Тогда , по свойству равнобедренного треугольника, , значит,  является и медианой, и биссектрисой, и высотой. Аналогично , так как . Следовательно, .

Ответ: .

Задача 2. Построение линейного угла при боковом ребре правильной треугольной пирамиды

Построить линейный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды .

По свойству правильной пирамиды, точка – центр треугольника (рис. 8).

Элементы двугранного угла: плоскость , плоскость , линия их пересечения  – ребро двугранного угла.

Необходимо построить линейный угол для этого двугранного угла. Заметим, что скрещивающиеся ребра перпендикулярны: .

Мы доказали перпендикулярность скрещивающихся ребер правильной треугольной пирамиды.

Из точки  в плоскости  проведем перпендикуляр  к ребру . Получили, что .

Имеем два перпендикуляра из точки , которые проведены в гранях двугранного угла. То есть  – искомый линейный угол.

Ответ: .

Задача 3. Построение линейного угла между ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде  построить угол наклона бокового ребра  к плоскости

Пусть точка  – центр треугольника , точка  – середина отрезка  (рис. 9).

Тогда  – это перпендикуляр к плоскости , а значит,  – проекция наклонной  на плоскость .

;

;

.

Значит, – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, то есть искомый угол.

Ответ: . 

Заключение

На данном уроке мы повторили признаки перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей, а также доказали теорему о трех перпендикулярах. При помощи повторенного материала были решены задачи на построение различных углов в правильной треугольной пирамиде.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008 г.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 - 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион» 2008.

Рекомендованное домашнее задание

1. В правильной треугольной пирамиде  постройте угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер  и .

2. В правильной треугольной пирамиде  точка  – середина ребра . Постройте угол между прямыми  и .

3. В правильной треугольной пирамиде  точка  – середина ребра  точка  – середина ребра . Постройте угол между плоскостями  и .

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Gigabaza.ru (Источник).