18. Решение задач на построение

Теоретические сведения, которые используются при построении сечения

Вспомним основные сведения, опорные факты, которые используются при построении сечения.

1.

Если две точки прямой (l) лежат в одной плоскости (α), то и вся прямая лежит в этой плоскости (рис. 1).

2.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость (рис. 2).

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (рис. 3)

4. Если в плоскости (α ) лежит прямая (a) параллельная другой плоскости (β) и эти плоскости пересекаются, то линей пересечения плоскостей будет прямая (b) параллельная прямой a (рис. 4).

5.   

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны (рис. 5).  

Задача 1. Построение сечения тетраэдра

Дано: – тетраэдр;;;;(рис. 6).

Построить: сечение тетраэдра плоскостью

Построение:

Соединим точки M и N, продлим эту прямую до пересечения с(пересечение существует, так как). Точка пересеченияс– т. P лежит в плоскости, то есть в одной плоскости с точкой K, следовательно, прямаялежит также в этой плоскости. Точка пересеченияс– точка F, точка пересеченияс– точка E.

Искомое сечение – четырёхугольник

Ответ: четырёхугольник

Задача 2. Построение сечения тетраэдра

Дано: ABCD – тетраэдр;;;;(рис. 7).

Построить: сечение тетраэдра плоскостью MNK, определить вид сечения.

Построение:

Соединим точки M и N. Прямая, так как. Через точку K проводим прямую l параллельную MN. На пересечении прямойсполучили точку,

на пересечениис– точкуСоединив четыре точки M,N,F,E, получим искомое сечение – четырёхугольник MNFE.

Определим вид этого четырёхугольника. Знаем, что, про параллельность NF и ME мы не знаем, поэтому:

1. Еслиипараллельны, то четырёхугольник– параллелограмм;

2. Еслиине параллельны, то четырёхугольник– трапеция.

Ответ:
1. Искомое сечение – четырёхугольник;
2.трапеция, если;
3. параллелограмм, если

Задача 3. Построение сечения параллелепипеда

Дано:– параллелепипед; M, N, K – середины, , соответственно (рис. 8).

Построить: сечение параллелепипеда плоскостью, определить вид сечения.

Построение:

1. Соединим точки N и K. Проведём из точки M прямую, параллельную прямой, до пересечения с, точкой пересечения будет т.

2. Прямая– линия пересечения секущей плоскостью плоскость Продлим до пересечения с продлёнными прямыми и , это будут точкиисоответственно. Эти точки не лежат на параллелепипеде, но принадлежат секущей плоскости.

3. Точкаилежат в одной плоскости (), соединив эти точки, получим точкуна пересечениии ребра

Точкаилежат в одной плоскости (), соединив эти точки, получим точкуна пересечениии ребра

Следовательно, в сечении лежит шестиугольникс попарно параллельными сторонами:

,,, так как лежат в параллельных плоскостях.

Ответ: искомое сечение – шестиугольникс попарно параллельными сторонами (,,).

Задача 4. Построение сечения куба

Дано:– куб;; M, N, K – середины,,соответственно (рис. 9).

Построить: сечение куба плоскостью, определить вид сечения.

Построение:

1. Соединим точки N и K. Прямая– линия пересечения секущей плоскостью плоскости Продлимдо пересечения с продлёнными прямымии, это будут точки

исоответственно.

СоединимиПродлим прямуюдо пересечения с ребром, это будет точка

Соединим точкус точкойПрямаяпересекаетв точке, а– в точке

Мы получили все точки на рёбрах, следовательно, в сечении лежит шестиугольник

2. Определим вид шестиугольника. Рассмотрим прямоугольныеи, они равные, так как катеты у них равны.

Это равенство следует из того, что катеты состоят из одинаковых рёбер куба плюс одинаковых частейи

, так как по признаку равенства треугольников

Следовательно:

Аналогично можно доказать, что 

На рисунке 10 изображено данное сечение.

Из построения очевидно, что у шестиугольника все стороны равны и все углы равны. Для примера рассмотрим треугольник, он равносторонний, поэтому его углы равны, следовательно, смежные с ними углы, а это углы шестиугольника, равныТак можно доказать, что все углы шестиугольника равныОтсюда следует, что шестиугольник правильный.

Ответ: искомое сечение – правильный шестиугольник

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили решения задач на построение, вспомнив основные теоретические сведения.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Clck.ru (Источник).

2. Clck.ru (Источник).

3. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Построить сечение параллелепипедаплоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где,, 

2. Построить сечение тетраэдраплоскостью, проходящей через данные точки  К, М, Р, где,,

3. Точкалежит на боковой грани тетраэдраПостроить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точкуи параллельной основанию