10. Решение задач по теме «Сфера и шар»

Задача №1

Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).

Дано: , , - ?

Решение:

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением). Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.  – радиус шара.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора: , тогда ;

.

Площадь сечения равна:

Ответ: площадь сечения равна .

Задача №2

Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 см2. Найти радиус этого шара.

Дано: , , - ?

Решение:

Смотри рис. 1.

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением).

Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.

 – радиус шара,  – радиус сечения.

Площадь сечения равна: , тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора: , тогда .

Ответ: радиус шара равен .

Задача №3

Условие. Стороны треугольника  касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости , если , ,  (рис. 2).

Решение

Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольника  ( – центр сферы,  – центр окружности сечения,  – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника . Воспользуемся формулой: . Тогда ;  – полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно: .

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника  с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что .

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости  равно 3 см.

Задача №4

Условие. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Решение. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб. Найдем ее радиус (рис. 3).

Очевидно, это будет половина высоты ромба. То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5. По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, равна . 

Тогда высота треугольника  (рис. 4) равна .

По теореме Пифагора найдем искомое расстояние от центра до плоскости  (рис. 5). Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см.

Задача №5

Условие. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.

Решение. Пусть центр сферы – точка , точка касания – точка , а данная точка – . Тогда ,  (рис. 6).

Пусть  пересекает сферу в точке . Тогда точка  – искомая точка (рис. 7). Докажем, что оно наименьшее.

Пусть точка  (отличная от ) (рис. 8) на сфере такова, что . Тогда . Но  по неравенству треугольника. Значит,  – искомое.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора: Тогда .

Ответ: расстояние равно 1 см.

Более сложная задача

Условие. Через точку сферы радиуса  провели две плоскости, одна из которых касается сферы, а другая наклонена к первой под углом . Найти длину окружности сечения сферы второй плоскостью (рис. 9).

Решение. Очевидно, нужно найти радиус искомого сечения. Пусть  – центр сферы,  – точка, через которую провели две плоскости,  – центр окружности сечения (рис. 10).

Заметим, что угол  равен 90 градусам. Действительно, по теореме  перпендикулярен касательной плоскости, а значит, и любой прямой в данной плоскости, в частности прямой  (рис. 11).

Соответственно, угол .

Рассмотрим треугольник  (прямоугольный). По определению косинуса, . А тогда длина окружности равна .

Ответ: .

Заключение

На данном уроке мы применили полученные теоретические знания по теме: «Сфера и шар» на практике. Решили несколько задач на эту тему.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ppt4web.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Шар радиуса 15 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найти площадь сечения.

2. Расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 4 см. Площадь сечения шара плоскостью равна . Найти радиус этого шара.

3. Радиус сферы равен 12 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 5 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.