03. Решение задач. Цилиндр

Введение

Простейшие задачи на цилиндр связаны с величинами площади поверхности, радиуса и оси, например, найти радиус, если даны площадь и ось. Но такие задачи мы уже разобрали в предыдущем уроке, а сейчас рассмотрим лишь одну аналогичную задачу, после чего перейдем к чуть более сложным конструкциям и идеям.

Решение задач

Задача 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.

Решение. Вспомним формулу: . Нам даны  и диаметр. Можно, конечно, найти радиус, но делать это необязательно, ведь формулу можно переписать так: . И тогда .

Ответ: .

Задача 2. Одна цилиндрическая бочка в два раза шире другой, зато вторая в три раза выше. У какой бочки площадь боковой поверхности больше и во сколько раз? (См. Рис. 1.)

Решение 1. («в лоб»)

Эту задачу проще всего решить, вспомнив формулу площади боковой поверхности. Как мы знаем, .

Пусть радиус основания первой бочки равен , а высота – . Тогда площадь ее боковой поверхности есть .

Далее, у второй бочки радиус основания в 2 раза меньше (то есть ), но высота в три раза больше ().

Имеем: .

Тогда .

Ответ: в 1,5 раза. 

Решение 2. Возьмем за эталон площадь боковой поверхности первой бочки. Как тогда изменится выражение для второй? Радиус в два раза меньше, значит, площадь станет в два раза меньше. Но высота в три раза больше, итого получаем, что нужно умножить площадь боковой поверхности на 3 и разделить на 2 (см. Рис. 2). Значит, вторая площадь больше в полтора раза.

Ответ: в 1,5 раза.

Задача 3. Площадь основания цилиндра (см. Рис. 3) относится к площади его осевого сечения как . Найти угол между диагоналями осевого сечения.

Решение. Вспомним формулы. Пусть радиус основания равен , высота – . Тогда площадь основания площадь осевого сечения – . По условию они относятся как , значит, после сокращения имеем: ; .

Теперь рассмотрим выносной рисунок прямоугольника, являющегося осевым сечением. (См. Рис. 4.)

Его стороны –  и , причем мы знаем, что . Значит, это квадрат, а тогда его диагонали перпендикулярны.

Ответ: .

Задача 4. Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника  вокруг стороны , а другой – вокруг стороны . А) докажите. Что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. Б) найдите отношение площадей полных поверхностей цилиндров, если , .

Решение.

Давайте сразу для удобства введем обозначения из пункта б): , . (См. Рис. 5.)

Рассмотрим первый цилиндр. Если мы вращаем прямоугольник вокруг , то высота полученного цилиндра будет равна , а радиус основания – . (См. Рис. 6.)

Тогда .

Аналогично для второго:  – высота,  – радиус основания. (См. Рис. 7.)

Имеем: .

Видно, что площади равны, что и доказывает пункт а)

Теперь найдем площади полных поверхностей.

.

Аналогично, .

Тогда .

Ответ: .

Задача 5. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания – 5 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси до плоскости этого сечения. (См. Рис. 8.)

Решение.

Для начала поймем, что надо найти. Искомое расстояние – перпендикуляр из центра основания на хорду, отсекаемую в основании. Докажем это. Во-первых, данный отрезок перпендикулярен оси (а по определению расстояния, искомый отрезок должен быть перпендикулярен и оси, и плоскости сечения). Во-вторых, он перпендикулярен хорде и образующей, лежащим в плоскости сечения, а тогда, по признаку, он перпендикулярен всей плоскости. Итак, что найти – поняли.

Очевидно, одна из сторон квадрата равна высоте, т. е. оси, а значит, и вторая равна ей же. Таким образом, сечение отсекает от основания хорду длиной 8 см.

Сделаем отдельный рисунок окружности нижнего основания.(См. Рис. 9.) Радиус окружности – 5, хорда длины – 8, нужно найти расстояние от радиуса до хорды. Очевидно, это просто высота равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основой 8. Найти ее несложно: она же является и медианой, значит, делит хорду на 4 и 4.

Так что искомое расстояние равно 3 по теореме Пифагора (или из того, что треугольник египетский).

Ответ: 3 см.

Заключение

Сегодня мы решили несколько задач как простых, так и сложных, таким образом закрепив раннее полученные знания.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2002.

3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Математика? Легко!» (Источник)

Домашнее задание

1. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная , образует с плоскостью основания угол . Найти боковую поверхность цилиндра.

2. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту в 3 раза?

3. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что при штамповке площадь листа не изменилась, определите диаметр листа.