02. Скалярное произведение векторов. Профильный уровень

Длина вектора. Расстояние между точками

 Мы продолжаем расширять модель вектора для трехмерного пространства. На прошлом уроке мы рассмотрели определение вектора с использованием двух подходов (геометрического и алгебраического), ввели основные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число), рассмотрели некоторые свойства.

Также мы определили длину вектора как длину соответствующего отрезка с использованием теоремы Пифагора: длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат (утверждение остается верным, независимо от количества этих самых координат) (см. рис. 1):

Если вектор задан координатами начала и конца, то его собственные координаты находятся как разности координат этих точек (см. рис. 2):

Таким образом, формула длины вектора через его координаты эквивалентна утверждению, что расстояние между двумя точками находится как корень из суммы квадратов попарных разностей их координат:

Для трехмерного пространства ситуация повторяется абсолютно. Т. к. длина вектора – это длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями, равными координатам вектора, то его длина находится как корень квадратный из суммы квадратов его координат (см. рис. 3):

Если две точки заданы своими координатами, то мы можем их рассматривать как начало и конец вектора (см. рис. 4):

Тогда мы можем найти координаты вектора и его длину, т. е. расстояние между точками:

Скалярное произведение векторов

Вспомним задачу о нахождении работы силы по перемещению объекта.

Задача 1. Мальчик тащит санки за веревку по горизонтальной поверхности. Чему равна работа силы натяжения по перемещению санок (см. рис. 5)?

Решение

Если мы умножим силу на расстояние, то ответ будет верным только в том случае, если веревка натянута строго горизонтально, т. е. векторы силы и перемещения сонаправлены (см. рис. 6).

Если же веревка натянута под углом, то за перемещение отвечает не сама сила, а ее проекция на вектор перемещения (грубо говоря, помогает тянуть нам только та часть силы, которая действует вдоль перемещения, она и совершает работу) (см. рис. 7):

Длина проекции равна длине вектора силы, умноженной на косинус угла между силой и перемещением (см. рис. 8):

Тогда:

Ответ: .

Рассуждая таким образом, в планиметрии мы ввели понятие скалярного произведения двух векторов. Произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию второго вектора на первый (см. рис. 9):

Если нам известны длины векторов и угол между ними, то формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:

Часто для обозначения модуля вектора  используют просто букву , подчеркивая, что длина вектора и длина соответствующего отрезка – это одно и то же:

Результатом скалярного произведения является число. В примере с санками – это работа силы, величина скалярная. Очевидно, для скалярного произведения справедлив переместительный закон (если поменять местами сомножители, то результат не изменится):

Все вышесказанное нам известно из планиметрии. Если мы возьмем два вектора в пространстве и совместим их начала, то они будут лежать в одной плоскости (см. рис. 10).

Следовательно, для них будет справедливо то же самое определение скалярного произведения:

Физический смысл скалярного произведения остается тем же самым.

Разница появляется только в описании через координаты, т. к. в планиметрии у вектора две координаты, а в пространстве – три:

Произведение вектора  на себя называют скалярным квадратом. Подставим его в формулу скалярного произведения:

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение в координатах

Если вектор задан координатами, то мы можем найти его скалярный квадрат, так как уже умеем искать его длину:

Итак, скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат:

Рассмотрим теперь, как выражается скалярное произведение двух произвольных векторов через их координаты. Мы это уже делали в планиметрии, и результат будет аналогичным. Тем не менее повторим эти рассуждения.

Пусть два вектора,  и , не коллинеарны. Совместим их в общее начало. Построим вектор  (см. рис. 11).

По теореме косинусов имеем:

Если векторы коллинеарны, то данное равенство окажется верным и для него. Таким образом, дальнейшие рассуждения верны для любой пары векторов.

Выражение  – это скалярное произведение векторов. Тогда имеем:

Выразим скалярное произведение:

В правой части равенства у нас только скалярные квадраты векторов. Мы умеем находить их через координаты. Сделаем это:

Упростим выражение и получим:

Итак, мы получили формулу, знакомую нам из планиметрии: скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Если в формулу скалярного произведения подставить один и тот же вектор , то получим знакомую уже формулу скалярного квадрата.

Итак, повторим:

1. С геометрической точки зрения скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

2. С алгебраической точки зрения скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Теперь мы можем сформулировать основные свойства скалярного произведения: , причем , при . Оно непосредственно следует из того:

Переместительный закон, который следует как из геометрической, так и из алгебраической интерпретации произведения:

Распределительный закон, который следует из координатной формы записи скалярного произведения:

Сочетательный закон, который очень легко доказать, используя как геометрическую, так и координатную формы скалярного произведения (сделайте это самостоятельно):

В самом деле: в формуле для вычисления скалярного произведения фигурирует косинус угла между векторами. Т. к. данный угол может принимать значения только от  до , то единственное значение, при котором косинус равен , это .

Угол между векторами

Если мы знаем длины векторов и угол между ними, то мы можем найти скалярное произведение по формуле:

Пример. Найти скалярное произведение двух векторов, длины которых равны  и , а угол равен .

Решение

:

Вспоминаем: если сила и перемещение сонаправлены, то работа силы (которая и равна скалярному произведению векторов силы и перемещения) максимальна и равна произведению их модулей.

:

Как только веревка санок поднимается, проекция силы на перемещение уменьшается, уменьшается и работа силы. В данном случае в два раза.

:

Если сила направлена вертикально вверх, то работа такой силы по перемещению санок равна нулю.

:

Веревка направлена вверх и назад, горизонтальная проекция силы препятствует движению, работа отрицательна.

:

Сила направлена прямо противоположно перемещению. Работа отрицательна и максимальна по модулю (мы мешали движению как могли сильно) (см. рис. 12).

Ответ: .

Задача может быть и обратной. Известны длины векторов и скалярное произведение. Тогда мы можем найти угол между векторами. В самом деле:

Тогда:

Эта формула позволяет найти угол между векторами. Проблема в том, что если длина векторов часто может быть известна из постановки задачи, то скалярное произведение вряд ли. Другое дело, если нам известны координаты векторов. Тогда мы можем найти и их длины, и их скалярное произведение.

Задача 2. Найти угол между ребром куба и диагональю.

Решение

В силу симметрии куба не важно, между каким ребром и диагональю искать угол.

Найдем угол между ребром  и диагональю , а для этого рассмотрим соответствующие векторы. Свяжем с кубом систему координат так, чтобы точка  совместилась с началом координат (см. рис. 13).

Координаты вектора , координаты вектора . Найдем косинус угла между векторами:

Найдем угол:

Ответ: .

Рассмотрим еще одну задачу на применение скалярного произведения, а более подробно сделаем это уже на практическом уроке.

Задача 3. Доказать, что четыре точки являются вершинами квадрата (см. рис. 14). Найти его площадь:

Решение

Для начала докажем, что данный четырехугольник  – параллелограмм. Рассмотрим векторы противоположных сторон:

Векторы противоположных сторон равны, следовательно, они имеют равную длину и параллельны. Но это признак параллелограмма.

Осталось показать, что смежные стороны перпендикулярны. Найдем координаты вектора:

Перемножим векторы  и :

Скалярное произведение векторов равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны.

Осталось найти площадь. Перемножим длины смежных сторон:

Ответ: .

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».

3. Погорелов А.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал webmath.ru

2. Интернет-портал math24.ru

Домашнее задание

1. Найти длину вектора , если  и .

2. Даны векторы  и . Найти значение , при котором .

3. Доказать, что четырехугольник  с вершинами  есть параллелограмм.