03. Теоремы Чевы и Менелая

Теорема Чевы

Определение.Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны или ее продолжения (см. рисунок 1).

Соответственно, биссектриса, высота и медиана – чевианы. Как вы  помните, и высоты, и медианы, и биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке (см. рисунок 2).

Теорема Чевы. Чевианы ,  и  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  (см. рисунок 3).

Доказательство

1) Докажем сперва, что если чевианы пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение .

Пусть чевианы ,  и  треугольника  пересекаются в точке  (см. рисунок 3).

Рассмотрим треугольники  и  (см. рисунок 4).

Поскольку основания  и  лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки  (из точки  можно опустить только одну высоту на прямую  – см. рисунок 5). Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

Аналогично можно выписать еще два соотношения: ; .

Перемножая эти три равенства получаем:

Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе. Треугольники  и  имеют равные углы (вертикальные, при вершине  – см. рисунок 6). Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол.

То есть: . Аналогично можно выписать еще два соотношения: ; . Перемножая эти равенства, получаем:

.

Имеем:

Что и требовалось доказать.

2) Теперь докажем, что если соотношение  выполнено, то три чевианы пересекаются в одной точке.

Воспользуемся методом от противного. Пусть это не так и  – точка пересечения  и , а  не проходит через эту точку. Проведем чевиану  через точки  и  (см. рисунок 7).

Тогда для чевиан ,  и  выполняется условие теоремы Чевы, которое мы уже доказали:

.

Но с другой стороны известно, что .

Приравняв левые части двух равенств, имеем: , а значит две точки разбили один и тот же отрезок в одном и том же отношении. Единственный случай, когда это возможно, если  и совпадают. То есть исходное предположение неверно, и значит, все чевианы проходят через одну точку, ч.т.д.

Применение теоремы Чевы

Как применяется теорема Чевы? Например, с ее помощью можно доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, соответствующие отрезки в числителе и знаменателе одинаковы, значит, условие теоремы выполняется (см. рисунок 8).

Также можно доказать, что биссектрисы в любом треугольнике пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим рисунок 1:

По свойству биссектрисы: . Аналогично:  и . Перемножив эти равенства, получим: . Значит, биссектрисы пересекаются в одной точке.

Задача (теорема Чевы)

Дан . , , – точки касания вписанной окружности. Докажите, что .

Доказательство

Заметим, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, ; ; (см. рисунок 9). Подставим эти данные в условие из теоремы Чевы: .

Соотношение из теоремы Чевы выполняется, а значит, чевианы пересекаются в одной точке, ч.т.д.

Замечание: рассмотренные чевианы не обязаны содержать центр вписанной окружности, более того, если треугольник не равносторонний, то они его и не содержат (так как не являются биссектрисами – см. рисунок 10).

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник , точки и лежат на сторонах и соответственно, а – на продолжении (см. рисунок 11). Точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Доказательство

Рассмотрим треугольники , , . Пусть , , – высоты, проведенные из вершин , , соответственно (см. рисунок 12).

Заметим, что углы и – вертикальные, значит, их синусы равны, то есть: ; . Выписав два аналогичных равенства, имеем: и .

Перемножим эти равенства и сократим длины высот, получим: , ч.т.д.

Обратное утверждение доказывается абсолютно аналогично доказательству обратного утверждения из теоремы Чевы.

Задача (теорема Менелая)

В треугольнике :  – медиана, точка  – середина медианы. Прямая  пересекает сторону  в точке  (см. рисунок 13). В каком отношении точка  делит , считая от точки ?

Решение

Применим теорему Менелая. К треугольнику  не получится, так как по условию теоремы должна быть точка на продолжении стороны треугольника, а у нас все внутри. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая для треугольника  и точек , ,  (см. рисунок 14).

Они лежат на одной прямой, значит выполнено условие теоремы Менелая: , откуда следует (т.к.  и  – по условию): . Значит, .

Ответ: .

Эту задачу можно решить и иначе. Проведем  ( – на ) параллельно . Тогда  – средняя линия , а значит . Аналогично,  – средняя линия , значит,  (см. рисунок 15). Таким образом, .

Пример

Дан треугольник . На продолжении  за точку  взяли точку , такую что . На стороне  взяли точку , которая делит  в отношении  от . В каком отношении  делит ?

Решение:

Пусть точка пересечения  и  –  (см. рисунок 1).

Тогда по теореме Менелая:

;

;

.

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с теоремой Чевы и теоремой Менелая и разобрали несколько задач, которые решаются с их помощью.

Список рекомендованной литературы.

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002

3. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 78 с.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет-портал «gigabaza.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «studopedia.ru» (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Стороны треугольника  и . Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

2. Задан треугольник . На продолжениях сторон ,  и  лежат, соответственно, точки ,  и  (см. рисунок), так что ,  и . Доказать, что точки ,  и  лежат на одной прямой.

3. В треугольнике , площадь которого равна , на стороне  взята точка , делящая эту сторону в отношении , а на стороне  – точка , делящая  в отношении Точка  пересечения прямых  и  удалена от прямой  на расстоянии . Найдите длину стороны .