01. Угол между касательной и хордой. Теоремы об отрезках и окружности

Введение

На этом уроке мы поговорим об окружностях. Вспомним, что такое касательная и хорда и что мы про них знаем.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки на окружности (рис. 1). В частности, диаметр – это наибольшая из хорд.

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рис. 2).

Что мы знаем про касательную? Самое главное – что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 3).

Теорема о хорде и касательной

Теорема. Угол меду касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда (рис. 4).

Нужно доказать: .

Доказательство

 – касательная,  – хорда. Рассмотрим  (центр окружности) и проведем радиусы  и , тогда треугольник  – равнобедренный (рис. 5). Пусть . По теореме о касательной и радиусе , тогда , а значит,

Осталось заметить, что , а значит, , ч.т.д.

Чаще всего используется не эта теорема, а следствие из нее. Мы ведь помним, что половине дуги равен еще один угол – вписанный. Значит, в силу теоремы угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту дугу, которую стягивает хорда. Посмотрим, как это применяется на примерах.

Пример (теорема о хорде и касательной)

Пример 1 (из ЕГЭ).

Угол между хордой  и касательной  к окружности равен  (рис. 6). Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённый между ними, . Значит, искомая величина дуги равна .

Ответ: .

Теорема о касательной и секущей

Теорема. Пусть  – касательная к окружности,  – секущая, которая пересекает окружность в первый раз в точке  (рис. 7). Тогда .

Теорема о касательной и секущей

Докажем теорему о касательной и секущей.

Заметим, что  – угол между касательной и хордой (рис. 1).  по сформулированному нами следствию.

Рассмотрим треугольники  и . Угол  у них общий, а . Значит, треугольники подобны по двум углам (рис. 2).

Тогда из подобия имеем: , откуда .

Обратите внимание, что все отрезки содержат общую вершину . Иногда эту теорему ошибочно применяют, записывая в правой части равенства . Это, конечно, неверно, так что не забудьте про общую вершину.

В свою очередь и теорема о касательной и секущей имеет широкое применение в задачах и других теоремах.

Примеры (теорема о касательной и секущей)

Пример 2.

В окружности провели диаметр . Прямая, проходящая через точку , пересекает в точке  касательную к окружности, проведенную через точку . Отрезок  делится окружностью пополам. Найти угол  (рис. 8).

Решение

1. , так как это угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания.

2. Пусть , где  – точка пересечения  и окружности. Тогда, по теореме о касательной и секущей, .

3. Из треугольника : , значит, .

Ответ: .

Пример 3.

Из точки , лежащей вне окружности, проведены касательная  и секущая : , , расстояние от центра окружности до секущей равно . Найти радиус окружности (рис. 9).

Решение

Пусть  – центр окружности. По теореме о касательной и секущей, ; ; . Тогда .

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный (). Пусть  – его высота (рис. 10).

По условию, . Но  – и медиана, тогда , значит, по теореме Пифагора в треугольнике : ; .

Ответ: .

Теорема о двух секущих

Теорема. Из точки  провели две секущие, первая пересекает окружность в точках  и , вторая – в точках  и  (рис. 11). Тогда .

Доказательство

Проведем касательную  (рис. 12).

Тогда, по теореме о касательной и секущей, имеем  и . Приравнивая правые части, получаем требуемое равенство.

Теорема о пересекающихся хордах

Теорема. Пусть хорды  и  пересекаются в точке  (рис. 13). Тогда .

Теорема о пересекающихся хордах

Докажем эту теорему. Рассмотрим треугольники  и .  (как вертикальные),  (опираются на одну дугу). Значит,  (по двум углам, рис. 1).

Отсюда, . Пользуясь свойством пропорции, имеем: .

Примеры (теорема о пересекающихся хордах)

Пример 4.

В окружности с центром  проведены хорды  и , пересекающиеся в точке , причем , , . Найти угол  (рис. 14).

Решение

По теореме об отрезках пересекающихся хорд , т. е. , значит, . Тогда в равнобедренном треугольнике  ():  – медиана (). Но тогда  – высота. Получается, что искомый угол .

Ответ: .

Пример 5.

Расстояние от точки  окружности до ее центра  равно . Радиус окружности равен . Через точку  провели хорду длиной . Найти отрезки хорды, на которые она делится точкой  (рис. 15).

Решение

Пусть  – проведенная хорда,  – диаметр, содержащий . Тогда по условию , , , .

Пусть , тогда .

По теореме о пересекающихся хордах: . Решаем полученное уравнение: ; ; . Значит, искомые отрезки –  и .

Ответ:  и .

Степень точки относительно окружности

Рассмотрим произвольную точку  и окружность. Точка  может находиться внутри окружности или вне ее.

Обозначим  точку вне окружности и  точку внутри окружности. Проведем через точку  произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки  и , и через точку  произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки  и  (рис. 1).

Тогда степенью точки  относительно окружности называется произведение , а степенью точки  относительно окружности называется произведение .

Что же получается? Мы же можем провести разные прямые. Что, будут разные степени? Ничего подобного. Мы ведь доказали, что такое произведение постоянно для любой прямой, проходящей через точку : если  внутри окружности, то это теорема о пересекающихся хордах, а если вне – то теорема о секущих. Так что определение не зависит от выбора прямой.

Иногда степень точки определяют и для точек, лежащих на окружности. В этом случае логично взять степень, равную нулю (в нашей формуле один из множителей будет равен ).

Заключение

На этом уроке мы разобрали несколько важных теорем, связанных с окружностью и отрезками в ней, выяснили, чему равен угол между касательной и хордой, и научились применять все эти теоремы на практике.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2009.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.

3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «samlib.ru» (Источник)

2. Журнал «Квант» (Источник)

Домашнее задание

1.  – точка пересечения хорд  и . , , . Найти.

2. Из точки к окружности проведена касательная и секущая , которая первый раз пересекает окружность в точке , а второй раз – в точке . Известно, что  в два раза меньше . Найти длину секущей.

3. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых равны  и . Внешний отрезок второй секущей на меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.