01. Расстояние между точками
10 мин
02. Расстояние от точки до прямой
8 мин
03. Расстояние от точки до плоскости
10 мин
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
6 мин
05. Угол между скрещивающимися прямыми
5 мин
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
21 мин
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
14 мин
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
16 мин
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
19 мин
10. Векторы. Решение задач
22 мин
11. Векторы. Решение более сложных задач
22 мин
12. Координаты. Решение задач
22 мин
13. Координаты. Решение более сложных задач
23 мин
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
12 мин
15. Круглые тела. Сфера
14 мин
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
16 мин
17. Объёмы круглых тел
14 мин
18. Решение задач на построение
18 мин
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
15 мин
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
39 мин
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
16 мин
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
14 мин
23. Задачи на комбинации круглых тел
9 мин
24. Экстремальные задачи
16 мин
25. Два метода для скрещивающихся прямых
21 мин
Видео доступно по абонементу
Рассмотрим задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Пусть нам дан куб . Нужно найти угол между прямыми и . Для того чтобы построить угол между скрещивающимися прямыми, нам нужно построить угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны каждой из данных прямых. Для этого зафиксируем одну прямую, в данном случае . А вторую прямую будем параллельно переносить до пересечения с прямой . Таким образом, перенеся в плоскость , мы получим прямую , которая параллельна прямой и которая пересекается с прямой . Значит, угол между прямыми и – это угол между прямыми и , то есть угол .
Для того чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник . Этот треугольник равносторонний, поскольку стороны его – диагонали квадрата. А в кубе все грани равны. Значит, квадраты равны, и диагонали у них одинаковые. Следовательно, угол равен 60°:
В этой же задаче можно было бы наоборот зафиксировать прямую , а прямую перенести и рассматривать треугольник с тем же успехом.
Рассмотрим еще одну задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Пусть нам дан правильный тетраэдр АВСD и известны середины рёбер. Нужно найти угол между отрезком EF, соединяющим середины ребер ВС и ВD, и стороной АВ.
Поскольку тетраэдр правильный, значит, и высота DO проектируется в центр треугольника АВС. И в основании лежит правильный треугольник.
Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно попробовать сделать параллельный перенос. Но если мы будем параллельно переносить прямую EF, то есть точку Е совмещать с точкой В, то прямая будет вне пирамиды. И составить треугольник, в который входит угол между этими прямыми, очень неудобно. Поэтому мы поступим следующим образом. Мы EF параллельно перенесем к DC.
EF – средняя линия ∆СВD, поэтому EF ║СD
То есть угол между прямыми АВ и EF – это угол между прямой АВ и СD. Но поскольку пирамида правильная, то мы знаем, что угол между ними, то есть угол между ребром СD и противолежащим углом основания АВ, равен 90°. Мы это уже доказывали не раз, докажем это ещё раз.
DO – перпендикуляр к плоскости (АВС). СD – наклонная. CO – проекция этой наклонной. И эта проекция перпендикулярная прямой АВ. А значит, по теореме о трех перпендикулярах, и наклонная DC тоже перпендикулярна прямой АВ. Значит, угол между прямыми DC и АВ равен 90°. А значит, угол между прямыми EF и АВ тоже равен 90°:
ОС – наклонная, СК – проекция.
Сегодня на уроке мы решили несколько задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
"