10. Векторы. Решение задач

Сложение векторов, умножение вектора на число

В окружающем мире мы встречаемся с такими величинами, для которых важен не только размер, но и направление. Такими величинами являются, например, сила и скорость. В математике такие величины описываются векторами.

Вектор – направленный отрезок.

Вектор(рис. 1).

Коллинеарными векторами называются такие векторы, которые лежат на параллельных прямых либо на одной прямой.(рис. 2).

Можно ввести такое число, при котором(рис. 3). То есть умножением вектора на какое-либо число, можно растянуть или сжать вектор.

Если векторы коллинеарные и сонаправленные и их длины равны, то такие векторы называются равные:.

Рассмотрим сложение векторов.

1. Правило параллелограмма (рис. 4).

Рис. 4. Сложение векторов

2. Правило треугольника (рис. 5).

Рис. 5. Сложение векторов

Векторы на плоскости

Рассмотрим векторы на плоскости. Для этого нам необходима пара неколлинеарных векторов

Теорема: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. То есть существует единственная пара чисел x и y, при которой(рис. 6).

Векторы в пространстве

Рассмотрим векторы в пространстве. Для этого необходимо выбрать три некомпланарных вектора

Теорема: в пространстве любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются однозначно:. То есть вектороднозначно разлагается по векторам,,с помощью чисел x, y, z (эта тройка чисел однозначная).

Объясним эту теорему (рис. 7).

Проведём, получим точку пересеченияс плоскостьюСледовательно,, но, по правилу параллелограмма,, а так как вектор, тоПоэтому

Задача 1 на доказательство определённого соотношения отрезков

M – точка пересечения медиан в треугольникеТочка O – произвольная точка. Доказать, что

Дано: M – точка пересечения медиан (рис. 8).

Доказать:

Доказательство (1 способ)

Выразимчерез векторы:

Складываем эти три соотношения:

Докажем, чтоПо свойству, точка пересечения медиан треугольника рассекает каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. То есть;;

Продлим медиануи отложим отрезок(рис. 9).

Получили четырёхугольникЕго диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно,– параллелограмм. Поэтому.

, поэтому

Подставим эти данные в выражение, получим.

Отсюда

Что и требовалось доказать.

Доказательство (2 способ)

Выразим OM через вектор:

- по свойству точки пересечения медиан треугольника.

Что и требовалось доказать.

Задача 2 на доказательство пересечения прямой и плоскости

Дан параллелепипед(рис. 10). M – точка пересечения медиан в

Доказать:
1) диагональпересечёт плоскостьв точке M;
2)

Доказательство

Вводим тройку некомпланарных векторов. Пусть,,, через эти векторы можно выразить все остальные нужные нам векторы:

Благодаря доказательству в задаче 1, знаем, что

Векториколлинеарные, они имеют общую точку A, следовательно, точкилежат на одной прямой, поэтому прямаяпересекает плоскостьв точке M (). Что и требовалось доказать.

Отношение.

Что и требовалось доказать.

Задача 3 на доказательство равенства отрезков

Дан параллелепипед(рис. 11). M и N – точки пересечения медиан виДоказать, что

Доказательство

В задаче 2 мы доказали, что диагональпересекаетв точке пересечения медиан и.

Следовательно,.

Аналогично из точкиисходят три ребра, концы которых образовывают второйДиагональпересекает этот треугольник в точке пересечения медиан и

Средняя часть диагоналиравна

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

С помощью векторов мы получили важное свойство произвольного параллелепипеда: из каждого конца диагонали параллелепипеда исходят три ребра. Треугольники, образованные концами этих рёбер, пересекается диагональю параллелепипеда в точке пересечения медиан. При этом диагональ делится на три равные части.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы вспомнили, что такое вектор, рассмотрели его свойства и решили задачи с помощью векторов.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Домашнее задание

1. На сторонетреугольникавзята точкаДоказать, что центры тяжестей,илежат на одной прямой.

2. Доказать векторным методом, что если в выпуклом четырехугольнике, две противоположные стороны не параллельны, длина отрезка, соединяющего середины этих сторон, равен полусумме длин двух других сторон четырехугольника, то этот четырехугольник – трапеция.

3. На сторонетреугольникавзята точкатак, что, а на продолжении стороны BC такая точка N, чтоВ каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Pm298.ru (Источник).