01. Расстояние между точками
02. Расстояние от точки до прямой
03. Расстояние от точки до плоскости
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
05. Угол между скрещивающимися прямыми
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
10. Векторы. Решение задач
11. Векторы. Решение более сложных задач
12. Координаты. Решение задач
13. Координаты. Решение более сложных задач
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
15. Круглые тела. Сфера
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
17. Объёмы круглых тел
18. Решение задач на построение
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
23. Задачи на комбинации круглых тел
24. Экстремальные задачи
25. Два метода для скрещивающихся прямых
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
Видео доступно по абонементу
Определения треугольной призмы
1. Призма . В основаниях лежат равные треугольники . Они лежат в параллельных плоскостях , боковые ребра параллельны между собой . Боковые грани – параллелограммы.
2. Объем призмы:
.
– высота – это расстояние от точки до плоскости .
3. Полная поверхность призмы.
– площадь боковой поверхности; – площадь основания.
4. Объем наклонной призмы:
.
– площадь перпендикулярного сечения; – боковое ребро.
Выберем любую точку на ребре и проведем перпендикуляр к ребру в одной и другой плоскости. ; . Значит, ребро перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости . . Но ребра . Значит, ребра , .
Площадь перпендикулярного сечения и есть площадь (рис. 2).
Решение задачи №1
Найдите боковое ребро и объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см2.
Дано:
, , , .
Найти: .
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми – это длина перпендикуляра между ними. Перпендикуляры: , , . Имеем перпендикулярное сечение (рис. 3).
Учитывая, что ребра равны: .
.
2. Найдем объем, вычислив площадь перпендикулярного сечения по формуле Герона.
;
;
;
;
;
;
.
Ответ: , .
Определения прямой и правильной призмы
Прямой называется призма, у которой боковое ребро, например перпендикулярно плоскости основания. . Так как боковые ребра между собой параллельны, то все боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Боковые грани – прямоугольники (рис. 4).
, – периметр основания.
В условии должны оговаривать вид призмы.
Правильная -угольная призма
1. , то есть это прямая призма;
2. В основании лежит правильный -угольник …
Параллелепипед и его разновидности – частный случай призмы.
Параллелепипед – это 4-х угольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (рис. 5).
1. – параллелограммы, которые лежат в параллельных плоскостях .
Боковые ребра параллельны между собой .
2. Частным случаем является прямой параллелепипед. Прямым он называется тогда, когда боковое ребро перпендикулярно плоскости основания .
3. Вторым частным случаем – прямоугольный параллелепипед. Это прямой параллелепипед , в основании которого лежит прямоугольник, то есть .
4. Третий случай – когда все измерения в прямоугольного параллелепипеда равны , то эта фигура – куб.
Свойства
В произвольном параллелепипеде все диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. .
В прямоугольном параллелепипеде длина диагоналей – сумма квадратов всех измерений.
Куб задается только одним элементом: своим размером.
Решение задачи №2
Дано:
Куб. – диагональ куба.
Найти: , .
Решение.
Обозначим длину ребра , тогда :
;
Ответ: ; .
Подведение итогов
Список литературы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10–11 кл. – М.: Просвещение.
Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10–11 класса.– М.: Просвещение, 1996.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.