08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми

Решение задачи №1

Задача 1

Дано:

 –  правильная треугольная пирамида (рис.1).

, высота .

Найти угол , расстояние между прямыми  и .

Построить общий перпендикуляр к прямым  и .

Решение

1. Пусть  – середина . ,  – медианы в равнобедренных треугольниках, так как  – правильная пирамида.  и  – высоты к основанию . Тогда ; . Отсюда . Это значит, что ( лежит в плоскости ). Таким образом, .

2 способ доказательства.

 – наклонная,  – ее проекция. Проекция наклонной  перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости . Значит, . .

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра, отрезка, который перпендикулярен  и  и концы которого лежат на данных прямых.

Построение: . Это означает, что любая прямая, которая исходит из точки  и лежит в этой плоскости, перпендикулярна . Из этого множества прямых необходимо выбрать ту, которая перпендикулярна .

Проведем высоту  в  (рис.2).  – искомый общий перпендикуляр между прямыми  и :  (по построению); , так как .

3.  – высота .  – высота, .

 – высота . .

 – радиус описанной окружности.

 – длина бокового ребра.  – гипотенуза .

Используя подобие двух прямоугольных треугольников  и  с общим углом  (по первому признаку, ; ), запишем:

.

Ответ: ; .

Определения правильного тетраэдра

Частный случай правильной треугольной пирамиды – правильный тетраэдр (рис. 3). В правильной пирамиде  в основании лежит правильный .

;

.

 не обязательно равно . Если , то – правильный тетраэдр (рис. 4).

Правильным тетраэдром называется такая правильная треугольная пирамида, у которой ребро основания и боковое ребро равны друг другу. И, наоборот, если дана пирамида с равными ребрами, то такая пирамида – тетраэдр.

Если правильная пирамида задается двумя элементами, то правильный тетраэдр задается одним элементом. В задачах это может быть расстояние между скрещивающимися прямыми.

Решение задачи №2

Все ребра пирамиды  (рис. 5) имеют одинаковую длину. Найти эту длину, если расстояние между прямыми  и  равно .

Дано:

, .

Найти: .

Решение

1) Эта пирамида – тетраэдр. Ребро обозначим .

Пусть  и  – середины  и . .

Тогда ,  – равнобедренный.  – апофемы.

, так как , ; .

Таким образом, из свойств пирамиды,  – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

2)  – высота в равнобедренном  (рис. 6).

Для , по теореме Пифагора, .

;

;

.

Ответ: .

Решение задачи №3

В правильном тетраэдре  (рис. 7) точка  – середина ребра . Найти: косинус угла между прямыми  и .

Решение

Прямая  скрещивается с прямой . Для того чтобы найти косинус угла между этими прямыми, необходимо взять удобную точку (точка ) и провести прямую, параллельную прямой .

 – искомый угол.  – средняя линия .

; .

, так как это высоты в равных треугольниках.

Проведем медиану, биссектрису, высоту .

.

Из : .

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 – 11 Кл. – М.: Просвещение.

2. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

2. Festival.1september.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.

2. Постройте расстояние и угол между скрещивающимся боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.