01. Расстояние между точками
02. Расстояние от точки до прямой
03. Расстояние от точки до плоскости
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
05. Угол между скрещивающимися прямыми
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
10. Векторы. Решение задач
11. Векторы. Решение более сложных задач
12. Координаты. Решение задач
13. Координаты. Решение более сложных задач
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
15. Круглые тела. Сфера
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
17. Объёмы круглых тел
18. Решение задач на построение
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
23. Задачи на комбинации круглых тел
24. Экстремальные задачи
25. Два метода для скрещивающихся прямых
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
Видео доступно по абонементу
Решение задачи №1
Задача 1
Дано:
– правильная треугольная пирамида (рис.1).
, высота .
Найти угол , расстояние между прямыми и .
Построить общий перпендикуляр к прямым и .
Решение
1. Пусть – середина . , – медианы в равнобедренных треугольниках, так как – правильная пирамида. и – высоты к основанию . Тогда ; . Отсюда . Это значит, что ( лежит в плоскости ). Таким образом, .
2 способ доказательства.
– наклонная, – ее проекция. Проекция наклонной перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости . Значит, . .
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра, отрезка, который перпендикулярен и и концы которого лежат на данных прямых.
Построение: . Это означает, что любая прямая, которая исходит из точки и лежит в этой плоскости, перпендикулярна . Из этого множества прямых необходимо выбрать ту, которая перпендикулярна .
Проведем высоту в (рис.2). – искомый общий перпендикуляр между прямыми и : (по построению); , так как .
3. – высота . – высота, .
– высота . .
– радиус описанной окружности.
– длина бокового ребра. – гипотенуза .
Используя подобие двух прямоугольных треугольников и с общим углом (по первому признаку, ; ), запишем:
.
Ответ: ; .
Определения правильного тетраэдра
Частный случай правильной треугольной пирамиды – правильный тетраэдр (рис. 3). В правильной пирамиде в основании лежит правильный .
;
.
не обязательно равно . Если , то – правильный тетраэдр (рис. 4).
Правильным тетраэдром называется такая правильная треугольная пирамида, у которой ребро основания и боковое ребро равны друг другу. И, наоборот, если дана пирамида с равными ребрами, то такая пирамида – тетраэдр.
Если правильная пирамида задается двумя элементами, то правильный тетраэдр задается одним элементом. В задачах это может быть расстояние между скрещивающимися прямыми.
Решение задачи №2
Все ребра пирамиды (рис. 5) имеют одинаковую длину. Найти эту длину, если расстояние между прямыми и равно .
Дано:
, .
Найти: .
Решение
1) Эта пирамида – тетраэдр. Ребро обозначим .
Пусть и – середины и . .
Тогда , – равнобедренный. – апофемы.
, так как , ; .
Таким образом, из свойств пирамиды, – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
2) – высота в равнобедренном (рис. 6).
Для , по теореме Пифагора, .
;
;
.
Ответ: .
Решение задачи №3
В правильном тетраэдре (рис. 7) точка – середина ребра . Найти: косинус угла между прямыми и .
Решение
Прямая скрещивается с прямой . Для того чтобы найти косинус угла между этими прямыми, необходимо взять удобную точку (точка ) и провести прямую, параллельную прямой .
– искомый угол. – средняя линия .
; .
, так как это высоты в равных треугольниках.
Проведем медиану, биссектрису, высоту .
.
Из : .
Ответ: .
Список рекомендованной литературы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 – 11 Кл. – М.: Просвещение.
Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.
Постройте расстояние и угол между скрещивающимся боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.