01. Расстояние между точками
02. Расстояние от точки до прямой
03. Расстояние от точки до плоскости
04. Расстояние между скрещивающимися прямыми
05. Угол между скрещивающимися прямыми
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
07. Вычисление элементов многогранника (призмы)
08. Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми
09. Вычисление элементов многогранника: расстояний и углов между скрещивающимися прямыми треугольной призмы
10. Векторы. Решение задач
11. Векторы. Решение более сложных задач
12. Координаты. Решение задач
13. Координаты. Решение более сложных задач
14. Круглые тела. Цилиндр. Конус
15. Круглые тела. Сфера
16. Объёмы тел. Объём пирамиды и объём призмы
17. Объёмы круглых тел
18. Решение задач на построение
19. Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде
20. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, описанную около треугольной пирамиды
21. Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду
22. Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу
23. Задачи на комбинации круглых тел
24. Экстремальные задачи
25. Два метода для скрещивающихся прямых
06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды
Видео доступно по абонементу
Основные определения
Правильной -угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой:
1. в основании лежит правильный -угольник,
2. вершина проецируется в центр.
Пример пирамиды, ее элементы
Правильная треугольная пирамида (рис.1):
1) – правильный, который имеет центр и вписанной, и описанной окружности в точке – его центре.
2) ; – высота пирамиды, проведенная из вершины пирамиды .
Элементы, которые задают правильную треугольную (-угольную) пирамиду:
1) В основании лежит правильный треугольник (рис. 2): равны все стороны и углы по . – середина, то – медиана, биссектриса, высота. – радиус вписанной окружности , – радиус описанной окружности . Весь треугольник задается одним элементом: стороной или , или .
(следствие свойства медиан: медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2:1, считая от вершины).
.
Из : .
; .
.
Внимание: основание задается только однимэлементом.
2) Если известно основание и мы проведем перпендикуляр (рис. 3), задав его, тогда мы зададим полностью пирамиду. Ее элементы: боковые ребра, апофема (высота боковой грани ).
Таким образом, пирамиду можно задать стороной основания и высотой .
Решение задачи №1
Дано: – правильная треугольная пирамида (рис. 4), , ; .
Найти: двухгранный угол при основании (угол между плоскостями и ).
Его обозначают: (, – точки плоскостей, - ребро) .
Решение
1) Чтобы найти линейный угол двухгранного угла, необходимо его построить. Для этого нужно подыскать удобную точку на ребре и провести два перпендикуляра в плоскостях, в гранях. Здесь это середина – точка . (по свойству равнобедренного ). Аналогично .
. – искомый угол (рис. 5).
1) Найдем величину этого угла.
– острый угол в прямоугольном . – известно по условию.
;
;
;
.
Ответ: радиан.
Решение задачи №2
Дано:
– правильная треугольная пирамида (рис. 6), , ; .
Найти: угол наклона бокового ребра к плоскости основания – .
Решение: угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой на плоскость является .
– искомый угол.
.
– острый угол . . (по условию).
;
;
;
Ответ: .
Решение задачи №3
Дано:
– правильная треугольная пирамида, , ; .
Найти: двухгранный угол при боковом ребре .
Решение: для начала объясним обозначения этого угла (рис. 7). – угол между плоскостями и .
– двухгранный угол с боковым ребром .
– – боковое ребро, и точки разных полуплоскостей.
1) Построение линейного угла.
Найти удобную точку на ребре , чтобы потом поставить к ней два перпендикуляра.
У правильной треугольной пирамиды скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Докажем это. – проекция наклонной на плоскость . ( лежит в плоскости ). Значит, .
и – скрещивающиеся ребра и они перпендикулярны. Угол между ними .
Проведем в плоскости перпендикуляр к .
, получим точку . Она будет удобной, потому что:
- по построению,
- по доказанному.
Значит, перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости . . перпендикулярна любой прямой из этой плоскости и прямой .
– искомый угол (рис. 8). .
2) Вычисления (рис. 9 и рис. 10): – угол при вершине равнобедренного . Основание известно по условию.
– высота в равнобедренном треугольнике . В высота – апофема.
или
– прямоугольный. Чтобы найти катет , надо гипотенузу умножить на синус противолежащего угла.
Но синус этого угла из другого треугольника равен (противолежащий катет к гипотенузе ).
.
3) Итак, необходимо найти угол . ; (рис. 11).
;
;
;
.
Ответ: .
Подведение итогов
Ход решения задачи:
1) Построить линейный угол искомого двухгранного угла: подобрать хорошую точку на ребре (нашли, проведя перпендикуляр к ребру ). Доказали, что . , по построению. перпендикулярна всей плоскости . – плоскость линейного угла. Линейный угол построен.
2) Для вычисления необходимы элементы . Основание – дано. Высоту нашли по-разному из . По теореме косинусов нашли , выразили .
Список рекомендованной литературы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 - 11 Кл. - М.: Просвещение.
Батанова А. Фрагмент урока на тему \" Предметы и их формы\" // Математика, 2009, № 23.
Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Рекомендованное домашнее задание
Сколько граней, боковых ребер у -угольной пирамиды?
Боковые ребра треугольной пирамиды равны 7 см, 12 см, 5 см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?