06. Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды

Основные определения

Правильной -угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой:

1. в основании лежит правильный -угольник,

2. вершина проецируется в центр.

Пример пирамиды, ее элементы

Правильная треугольная пирамида (рис.1):

1)  – правильный, который имеет центр и вписанной, и описанной окружности в точке  – его центре.

2) ;  – высота пирамиды, проведенная из вершины пирамиды .

Элементы, которые задают правильную треугольную (-угольную) пирамиду:

1) В основании лежит правильный треугольник  (рис. 2): равны все стороны и углы по .  – середина, то  – медиана, биссектриса, высота.  – радиус вписанной окружности ,  – радиус описанной окружности . Весь треугольник задается одним элементом: стороной  или , или .

 (следствие свойства медиан: медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2:1, считая от вершины).

.

Из : .

; .

.

Внимание: основание задается только однимэлементом.

2) Если известно основание и мы проведем перпендикуляр  (рис. 3), задав его, тогда мы зададим полностью пирамиду. Ее элементы: боковые ребра, апофема (высота боковой грани ).

Таким образом, пирамиду можно задать стороной основания и высотой .

Решение задачи №1

Дано:  – правильная треугольная пирамида (рис. 4), , ; .

Найти: двухгранный угол при основании (угол между плоскостями  и ).

Его обозначают:  (,  – точки плоскостей,  - ребро) .

Решение

1) Чтобы найти линейный угол двухгранного угла, необходимо его построить. Для этого нужно подыскать удобную точку на ребре и провести два перпендикуляра в плоскостях, в гранях. Здесь это середина  – точка .  (по свойству равнобедренного ). Аналогично .

.  – искомый угол (рис. 5).

1) Найдем величину этого угла.

– острый угол в прямоугольном .  – известно по условию.

;

;

 ;

.

Ответ:  радиан.

Решение задачи №2

Дано:

 – правильная треугольная пирамида (рис. 6), , ; .

Найти: угол наклона бокового ребра  к плоскости основания  – .

Решение: угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой  на плоскость является .

 – искомый угол.

.

– острый угол . .  (по условию).

;

;

;

Ответ: .

Решение задачи №3

Дано:

 – правильная треугольная пирамида, , ; . 

Найти: двухгранный угол при боковом ребре .

Решение: для начала объясним обозначения этого угла (рис. 7).  – угол между плоскостями  и .

 – двухгранный угол с боковым ребром .

 –  – боковое ребро,  и  точки разных полуплоскостей.

1) Построение линейного угла.

Найти удобную точку на ребре , чтобы потом поставить к ней два перпендикуляра.

У правильной треугольной пирамиды скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Докажем это.  – проекция наклонной  на плоскость . ( лежит в плоскости ). Значит, .

 и  – скрещивающиеся ребра и они перпендикулярны. Угол между ними .

Проведем в плоскости  перпендикуляр  к .

, получим точку . Она будет удобной, потому что:

-  по построению,

-  по доказанному.

Значит,  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости . .  перпендикулярна любой прямой из этой плоскости и прямой .

 – искомый угол (рис. 8). .

2) Вычисления (рис. 9 и рис. 10):   – угол при вершине равнобедренного . Основание  известно по условию.

 – высота в равнобедренном треугольнике . В  высота  – апофема.

  или  

 – прямоугольный. Чтобы найти катет , надо гипотенузу  умножить на синус противолежащего угла.

Но синус этого угла из другого треугольника  равен  (противолежащий катет к гипотенузе ).

.

3) Итак, необходимо найти угол . ;  (рис. 11).

;

;

;

.

Ответ: .

Подведение итогов

Ход решения задачи:

1) Построить линейный угол искомого двухгранного угла: подобрать хорошую точку  на ребре (нашли, проведя перпендикуляр  к ребру ). Доказали, что . , по построению.  перпендикулярна всей плоскости .  – плоскость линейного угла. Линейный угол построен.

2) Для вычисления необходимы элементы . Основание  – дано. Высоту  нашли по-разному из . По теореме косинусов нашли , выразили .

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 - 11 Кл. - М.: Просвещение.

2. Батанова А. Фрагмент урока на тему \" Предметы и их формы\" // Математика, 2009, № 23.

3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

2. Festival.1september.ru (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Сколько граней, боковых ребер у -угольной пирамиды?

2. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 7 см, 12 см, 5 см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?