07. Элементы геометрии масс. Профильный уровень

Элементы геометрии масс

Мы уже знаем, что математика создаёт различные удобные инструменты для физики. Более того, многие математические понятия и утверждения появились именно благодаря решениям задач по физике.

Например, понятие вектора появляется при описании таких физических величин, как перемещение, скорость, ускорение, сила (рис. 1).

А необходимость вычислять работу, когда направление перемещения и направление силы не совпадают, приводит к такому математическому понятию, как скалярное произведение векторов (рис. 2).

На сегодняшнем уроке мы рассмотрим очень интересную ситуацию, когда вроде бы чисто физические рассуждения используются для решения задач по геометрии. Мы займёмся так называемой геометрией масс. Самому методу уже очень много лет. Таким способом решал задачи ещё Архимед (рис. 3).

Давайте начнём с хорошо известной нам теоремы о точке пересечения медиан.

Теорема о точке пересечения медиан

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении , считая от вершины.

Мы доказывали её классическим геометрическим методом ещё в 8-м классе, используя теорему Фалеса.

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 4).

Но первым доказал эту теорему Архимед, и использовал он именно метод масс. Повторим и мы вслед за Архимедом эти рассуждения.

Доказательство теоремы о точке пересечения медиан

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 5). Разместим в его вершинах одинаковые массы: . Найдём центр масс трёх полученных материальных точек (как мы помним из физики: точку, в которой сосредоточена некоторая масса, называют материальной точкой).

Вспомним, что центр масс системы материальных точек — это геометрическая точка, которая будет описывать движение системы точек как единого целого. Грубо говоря, при решении многих задач механики можно заменить всю систему на одну материальную точку — центр масс — и рассматривать только её движение, которое будет соответствовать движению всей системы.

Система двух точек В и С имеет центр масс в середине отрезка ВС, так как массы в точках В и С одинаковы. Обозначим её N. Чтобы она была центром масс отрезка ВС, в ней нужно разместить суммарную массу точек В и С, то есть , — раз точка заменяет собой всю систему, то её масса должна быть равна суммарной массе всех точек системы.

Таким образом, нам осталось найти центр масс точек А и N. Так как точке N соответствует масса , а точке , то центр масс такой системы находится в два раза ближе к точке N. Вспомните правило рычага: если на одной стороне качелей сидит человек, который вдвое тяжелее, чем человек на другой стороне, то для равновесия качелей точку опоры нужно разместить ближе к более тяжёлому человеку, чтобы плечо было короче, — для равновесия нужно равенство моментов сил, а именно — произведений силы (в нашем случае — тяжести) и длины их плеч (рис. 6).

То есть центр масс трёх точек лежит на медиане AN и делит её в отношении , считая от вершины (рис. 7).

Точно такие же рассуждения мы можем провести для остальных медиан. Таким образом, центр масс лежит на всех трёх медианах и делит их в отношении  (рис. 8).

Но так как центр масс один и тот же, то это одна и та же точка. Что и требовалось доказать. Согласитесь, очень красивое и простое доказательство.

Основным инструментом для решения задач является теорема о группировке масс, которую мы на самом деле уже использовали при доказательстве теоремы о медианах треугольника.

Теорема о группировке масс

Если в системе материальных точек часть точек заменить на центр их масс и приписать ему суммарную массу заменённых точек, то общий центр масс не изменится (рис. 9, 10).

Так, в теореме о медианах в системе трёх материальных точек мы заменяли две точки на центр их масс и приписывали ему сумму масс заменённых точек (рис. 11).

Метод масс в планиметрии

Решим задачу на отыскание центра масс системы четырёх точек.

Итак, пусть дана система четырёх точек единичной массы ,, и (рис. 12).

Единицы в скобках как раз и говорят о том, что у точек единичные массы.

Сгруппируем точки А и В. Так как у них одинаковые массы, то центр их масс лежит на середине отрезка АВ. Обозначим его точкой М, припишем ему массу  — суммарную массу точек А и В (рис. 13).

Заменим точки А и В на центр их масс. Аналогично точки С и D заменим на центр их масс — точку N с массой два, то есть .

Таким образом, система четырёх точек свелась к системе двух точек M и N массой два каждая (рис. 14).

Так как массы этих двух точек равны, то центр их масс Z лежит на середине отрезка MN. Мы нашли центр масс системы точек (рис. 15).

Используем это для решения следующей задачи, известной как теорема Вариньона.

Задача (теорема Вариньона)

Определите тип четырёхугольника, образованного серединами сторон произвольного выпуклого четырёхугольника.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник АВCD. Отметим середины его сторон: E, F, G и H.

Припишем точкам А, В, С, D единичные массы (рис. 16).

Центр масс Z полученной системы лежит на середине отрезка ЕG и точно так же на середине отрезка FH. Тогда получается, что диагонали четырёхугольника EFGH точкой пересечения делятся пополам, а это признак параллелограмма (рис. 17).

То есть четырёхугольник EFGH — параллелограмм.

Ответ:

EFGH — параллелограмм.

При решении геометрических задач методом масс необязательно всем точкам приписывать одну и ту же массу.

Решим следующую задачу.

Задача

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки P и Q, такие, что:

В каком отношении делятся точкой пересечения отрезки AQ и CP?

Решение:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой противолежащей стороны, называется чевианой. Таким образом AQ и CP — чевианы (рис. 18).

Разместим в вершинах треугольника такие массы, чтобы центры масс двух вершин находились в точках P и Q.

Начнём с точек А и В. Так как , то массы в точках А и B должны соотноситься как , то есть . Пусть это будут массы  и . А у точки Р будет масса . Пусть у точки C будет масса , тогда в точке Q, чтобы она была центром масс отрезка ВС, должна быть масса  (сумма масс В и С), при этом должно выполняться соотношение , отношение масс обратно пропорционально отношению длин отрезков, откуда . У точки Q масса  (рис. 19).

Точки А и В мы заменили на центр их масс . Центр масс системы точек А, В и С, соответственно, будет лежать на отрезке РС. Аналогично, если мы заменим точки В и С на центр их масс , то центр масс системы точек А, В и С будет лежать на отрезке AQ. Так как оба раза речь идёт об одной и той же точке — центре масс системы А, В и С, ясно, что она будет точкой пересечения отрезков AQ и РС — точкой О.

Снова воспользуемся правилом рычага:

, откуда .

Аналогично .

Тогда .

Ответ: ; .

Рассмотрим ещё одну задачу, и вот её-то мы вряд ли решали когда-нибудь другими способами.

Задача

Точки, разбивающие каждую из сторон четырёхугольника на три равные части, соединены так, как показано на рисунке. Докажите, что каждый из полученных отрезков также разбивается точками пересечения на три равные части (рис. 20).

Решение:

Здесь нет параллельных прямых, поэтому мы не можем применить теорему Фалеса — очень сильный инструмент в чисто геометрическом методе.

Поэтому применим метод масс.

Выберем два отрезка MN и PQ и докажем, что точка их пересечения отсекает от каждого отрезка  (рис. 21).

Разместим в вершины четырёхугольника массы так, чтобы центр масс попал в точку О. Для этого центр масс должен лежать на отрезках MN и PQ.

Поместим в точку А массу , а в точку В — массу . Тогда локальный центр их масс попадает в точку N: .

В точке С масса должна быть в два раза больше, чем в точке В: , тогда центр масс точек В и С попадает в точку Р : . Аналогично в точке D должна быть масса .

Итак, центр масс точек А и В находится в точке N и имеет массу .

Центр масс точек С и D находится в M и имеет массу .

Следовательно, общий центр масс лежит на отрезке MN.

Аналогично показываем, что общий центр масс лежит на отрезке PQ, а значит, в точке О (рис. 22).

Осталось заметить, что точка О в два раза ближе к М, чем к N, так как масса M в два раза больше массы N. Аналогично О в два раза ближе к Р, чем к Q.

Проведя подобные рассуждения для остальных точек пересечения, мы докажем требуемое утверждение.

Метод масс в стереометрии

Основная теорема геометрии масс о замене части точек системы на центр их масс верна не только для планиметрии, но и для стереометрии. Рассмотрим применение этого метода в стереометрии.

Теорема

Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 23).

Доказательство

Вспомним, что отрезки, о которых идёт речь, называются бимедианами тетраэдра.

Разместим в вершинах тетраэдра единичные массы.

Заменим точки и на центр их масс  и аналогично заменим и на центр их масс (рис. 24).

Тогда общий центр системы, то есть всего тетраэдра, находится в точке О — середине бимедианы MN.

Аналогично центр масс находится на середине PQ и на середине третьей бимедианы (рис. 25).

Но это значит, что их середины совпадают. Мы доказали, что все бимедианы пересекаются в центре масс тетраэдра и делятся им пополам.

Снова рассмотрим тетраэдр. И проведём отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней. Они называются медианами тетраэдра (рис. 26).

Теорема

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в центре масс тетраэдра.

Доказательство

Поместим единичные массы на вершины тетраэдра.

Найдём точку пересечения медиан грани напротив вершины А. Обозначим её .

Заменим точки В, С и D на центр их масс. Мы уже знаем, что точка пересечения медиан, то есть , и есть центр их масс .

То есть система четырёх точек А, В, С, D заменяется на систему двух и .

Тогда центр масс О всей системы находится на медиане  и делит её в соотношении .

Но точно так же он находится и на медиане , , и на остальных медианах.

То есть все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке О — центре масс тетраэдра — и делятся в соотношении , считая от вершины (рис. 27).

Это аналог теоремы Архимеда о точке пересечения медиан треугольника. Более того, вспомним предыдущую задачу. В точке О пересекаются и 3 бимедианы.

Таким образом, все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в центре масс тетраэдра.

Этот факт мы уже выяснили раньше, но сделали это другим методом (урок Виды тетраэдров. Профильный уровень). На примере ещё одной задачи рассмотрим удобство метода масс в стереометрии.

Задача

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Для каждой пары скрещивающихся рёбер проведена прямая, проходящая через точки касания. Докажите, что три полученных отрезка пересекаются в одной точке (рис. 28).

Эта задача похожа на задачу с бимедианами, но точки касания не являются серединами рёбер.

Используем теорему об отрезках касательных.

Все отрезки касательных, проведённых из одной точки к сфере, равны друг другу.

То есть расстояния от вершины до трёх точек касания равны.

Обозначим эти расстояния как ,,,.

Поместим в вершины массы, обратно пропорциональные этим расстояниям, то есть ,,, (рис. 29).

Тогда локальный центр масс точек А и D находится в точке Е. Центр масс точек В и С находится в точке G. Таким образом общий центр масс находится на отрезке EG. Но аналогично он лежит и на остальных двух таких отрезках. Следовательно, все три отрезка пересекаются в одной точке. Заметим, что эта точка является центром масс системы точек А, В, С и D c подобранными нами массами. Но это не центр масс тетраэдра, так как эти массы не равны друг другу. Понятно, что, меняя массы, мы можем сместить центр масс в любую внутреннюю точку тетраэдра. Ну что, надеемся, вам понравился метод масс и вы будете применять его для решения задач.

Список литературы

1. Эвнин А. Ю. Метод масс в задачах // Математическое образование. — 2015. — Вып. 1. — С. 27–47.

2. Эвнин А. Ю. Метод масс в геометрии треугольника // Математика в школе. — 2015.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-портал etudes.ru (Источник)

2. Интернет-портал mmmf.msu.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Докажите, что в описанном четырёхугольнике центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем середины его диагоналей.

2. В треугольнике проведены чевианы и так, что , а . Найдите  и , где — точка пересечения чевиан.

3. — правильная треугольная пирамида, точка принадлежит ребру , точка — ребру , точка — ребру так, что , , , — высота пирамиды. Плоскость пересекает высоту пирамиды в точке . Найдите .