23. Задачи на комбинации круглых тел

Задача 1. Типовая задача на сферу, вписанную в конус. Часть 1. Нахождение радиуса сферы

В конус с радиусом основания R=3 и высотой h=4 вписана сфера. Найти радиус сферы и отношение объемов конуса и шара.

Решение

1. Дано:

Найти:

Рассмотрим осевое сечение фигур (рис. 1):

Сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABS, а сечение сферы – это окружность, вписанная в этот треугольник.

Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Используем свойство биссектрисы BO. Рассмотрим треугольник BCS:

– катет

– второй катет, найдем гипотенузу SB:

Биссектриса BO рассекает противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам, то есть:

Или:

Получаем уравнение относительно r:

Ответ:

Задача 1. Типовая задача на сферу, вписанную в конус. Часть 2. Нахождение отношения объемов конуса и шара

2. Дано:(рис. 2)

Найти:

Формируем отношение объемов:

Сокращаем и подставляем известные величины:

Ответ:

Задача 2. Типовая задача на конус, вписанный в сферу. Нахождение радиуса сферы

Дано: радиус основания конуса r=3, а высота h=4.

Найти: радиус шара, описанного вокруг конуса.

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 3):

Имеем равнобедренный треугольник (сечение конуса) и описанную окружность (сечение шара). Задача сводится к тому, чтобы найти радиус описанной окружности.

Видим, что

Точка O – центр сферы, лежит на высоте.

Рассмотрим, искомый радиус будем находить из этого треугольника. По теореме Пифагора:

Подставляем известные значения высоты h и радиуса r:

Раскрываем скобки, сокращаем и приводим подобные члены:

Ответ: искомый радиус

Задача 3. Типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу. Нахождение отношения объемов цилиндра и сферы

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти:

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 4)

Сечение сферы – окружность, сечение цилиндра – квадрат. Пусть r – радиус сферы.– квадрат. Радиус цилиндра, высота цилиндраПолучаем:

Ответ:

Задача 4. Типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу. Нахождение радиуса сферы

Дано: около цилиндра с радиусом основания r и высотой h описана сфера.

Найти: радиус сферы

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 5):

В данном случае осевое сечение цилиндра – прямоугольник, осевое сечение шара – окружность. Задача сводится к планиметрической задаче: найти радиус окружности, описанной около прямоугольника.

Рассмотрим: он прямоугольный, первый катет, второй катетТеорема Пифагора дает уравнение для искомого радиуса:

Ответ:

Подведение итогов

Заметим, что все задачи свелись к простейшим планиметрическим задачам, несмотря на достаточно сложные формулировки задач.

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.

3. Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Стр. 156 № 643 (а, в), № 644 (Геометрия: учеб. для 10–11 кл. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)